参数先验分布下的MCMC与Gibbs抽样详解

若参数的先验分布为某一特定形式，例如一个正态分布或其他常见的概率分布，其后验分布可以通过贝叶斯公式推导得出，即后验分布等于先验分布乘以似然函数再除以证据。这种关系满足了贝叶斯条件分布的原则，使得我们可以利用这个公式来进行参数估计。 MCMC (Markov Chain Monte Carlo) 是一种强大的数值模拟方法，特别适用于处理复杂的高维概率模型，其中计算目标函数的期望值或概率密度函数可能非常困难。MCMC的核心思想是构建一个马尔可夫链，该链的每个状态是参数空间中的一个样本，通过一系列随机步骤，该链会逐渐收敛到目标概率分布的平衡态，也就是我们需要的后验分布。 MCMC方法的工作原理基于马尔可夫过程，这是一种随机过程，其中未来的状态只依赖于当前的状态，而不受过去状态的影响。例如，投掷骰子实验中的Xn序列就是一个马尔可夫链，每次投掷的结果只取决于上一次的结果，而与之前的投掷次数无关。 在连续状态Markov链中，转移概率密度p(x, B)描述了从一个状态x转移到另一个状态集合B的概率，它是x的函数。对于离散状态的马尔可夫链，转移概率则表现为概率分布列。这些转移概率定义了链的动态行为，使得链能够在参数空间中探索并逼近目标分布。 在统计计算中，当目标是计算某个函数关于一概率分布的期望值，比如估计参数的均值或方差，MCMC方法显得尤为有用。它通过以下步骤实施： 1. **构造马尔可夫链**：设计一个满足马尔可夫性质的随机过程，其状态转移依赖于当前状态，并且期望长期达到目标分布。 2. **初始化**：选择一个起始状态，通常是基于先验分布或者某种启发式策略。 3. **采样步骤**：通过Metropolis-Hastings算法或其变种，例如 Gibbs 抽样，生成新的候选状态。这些步骤基于当前状态以及目标分布的局部特性。 4. **接受/拒绝**：计算新状态的接受概率，如果大于一个随机生成的接受阈值，就接受新状态；否则，保留旧状态。这确保了链的长期行为收敛到目标分布。 5. **重复**：重复采样和接受/拒绝过程，直到达到一定的迭代次数或满足收敛标准。 6. **分析结果**：收集的样本可以用来估计期望值，通过平均样本值来近似期望，误差随着更多样本的增加而减小。 通过MCMC方法，即使面对复杂的高维或非凸的后验分布，也能有效地进行参数估计和概率分布的计算，极大地扩展了统计计算的适用范围。