高阶Schrödinger方程的半隐式差分格式与稳定性分析

"这篇论文是1995年华侨大学学报(自然科学版)第16卷第4期发表的，作者曾文平，主要探讨了高阶Schrödinger方程的一类半隐式差分格式及其稳定性条件。文章涉及傅立叶分析、稳定性分析、差分格式和高阶Schrödinger方程的数值解法。" 高阶Schrödinger方程在许多科学领域，如等离子体物理、非线性光学和流体力学中都有重要的应用，其非线性高阶形式常被用来描述量子系统中的动态行为。该论文聚焦于方程 \( i\frac{\partial u}{\partial t} + (-1)^m \Delta^m u = 0 \)（其中 \( m \) 是阶数，\( u \) 是复函数）的数值解法。经典Euler显式格式因无条件不稳定而不太适用，而三层蛙跳显格式虽然有条件稳定，但其稳定性条件限制较严苛。另一方面，Euler隐格式虽然无条件稳定，但需要解一个耦合的方程组，计算复杂度较高。 论文提出了一种新的半隐式差分格式，这个格式实际上可以显式求解，并且讨论了它的稳定性。通过引入参数 \( \alpha \)，作者构造了一类 \( \alpha \)-型的可显式求解的半隐式格式，从而改进了蛙跳格式的稳定性条件，同时保持了相对较低的计算成本。论文的核心贡献在于提供了一种更稳定且计算效率较高的数值方法来处理高阶Schrödinger方程。 稳定性分析是数值方法的关键部分，因为它决定了数值解的精度和可靠性。论文中的引理阐述了实系数二次方程的根模小于等于1的充要条件，这是分析差分格式稳定性的重要工具。通过这个引理，作者能够推导出所提出的半隐式格式和 \( \alpha \)-型格式的稳定性条件，从而证明了这些新格式在稳定性方面的优势。 这篇论文为理解和处理高阶Schrödinger方程的数值模拟提供了有价值的贡献，特别是对于那些需要高效且稳定数值方法的领域。通过构造新的差分格式，它不仅扩大了稳定性区域，还减少了计算复杂性，对于数值计算和物理建模具有实际意义。