第
39
卷第
5
期
2010
年
10
月
上海师范大学学报(自然科学版)
Journal of Shanghai Normal University( Natural Sciences)
Vo
l.
39
, No. 5
Oct.
,
2010
常微分方程初值问题的一类单步解法
李晓辉,岳荣先
(上海师范大学数理学院,上海
200234
)
摘
要:利用
Taylor
展开工具提出常微分方程初值问题的一类单步求解法,并证明该方法的
相容性、稳定性和收敛性.该方法克服了传统羊步法的缺点,既不使用高阶导数,同时在每一步
计算时使用的函数值的个数又明显少于传统方法的个数,其绝对稳定区间均大于同阶的
Ad
ams
外插法的绝对稳定区间.数值结果表明:该方法具有较高的精度.另外,此方法还可以推广
到方程组和高阶的情形.
关键词:一阶常微分方程;多步法
Taylor
展开;单步法;稳定性
中图分类号
0241.81
文献标识码
:A
文章编号
1000
引
37
(201
0)
05
-D
488
舶
。寻|
对于一阶常微分方程初值问题
e:
二川)
y(
坏。)
=
Yo
(1)
文献
[1
- 3
]中给出了诸多步进法公式或数值解法,如:后退的
Euler
公式、梯形公式、
Runge-
Kutta
公式、
Adams
公式、预估-校正算法
(PE
算法)和
PECE
算法,等等.但这些数值解法不免有着或多或少的
缺点,难以达到预期的计算要求.
本文作者以
Taylor
展开为工具导出一种新的单步法,能有效地弥补一些现有方法的不足.该方法综
合了
Adams
方法和
Runge-
Kutta
等数值方法的优点,不使用高阶导数,每一步计算时使用右端函数的个
数能少于传统方法的个数,绝对稳定区间能够大于同阶的
Adams
外插法的绝对稳定区间.
1
方法的构造
对于所给的初值问题(1)
,本文作者构造的计算格式为:
几十
1
二儿
+h
:L,
乱
f(
凡+吮
h
,
Yn
+
Yj
hf(xn
,
YJ)
,
吮运
1
,
kE
N.
(2)
其中
h
为取定的步长.该计算格式为
k
+
1
点单步方法,每前进一步只需计算
k
+
1
个函数值.
当
k
,
γJ
和再取不同的值时,就能得到不同的计算格式,考虑下列几种情况.
1. 1
k=1
时的格式
β1441=0
,
1
时,可分别得到
Euler
格式和隐式
Euler
格式
收稿日期:
2010-03-29
基金项目:国家自然科学基金项目(1
1071168)
;上海市教委科研创新项目(l1
ZZ16);
教育部高校博士点专项科研基
金项目
(20060270002)
.
作者简介:李晓辉
(1983
一)
,男,上海师范大学数理学院硕士研究生,铜川职业技术学院助教;岳荣先
(1958
一) ,男,
上海师范大学数理学院教授.