EM算法详解：从高斯混合模型到参数估计

本文主要介绍了EM（期望最大化）算法，这是一种在统计学和机器学习领域常用的参数估计方法，尤其在处理高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）时应用广泛。以下是对该算法及其相关概念的详细阐述。 高斯混合模型是一种概率模型，由多个不同的高斯分布（也称为正态分布）组成。每个观测数据点可能来自这些分布中的任意一个，并且每个分布都有一个对应的权重或概率。例如，GMM可用于模拟一个班级学生的身高分布，假设有男生和女生两种群体，他们的身高分别服从不同的高斯分布，通过混合模型可以估计出每个群体的比例、平均值和标准差等参数。 EM算法的核心思想是通过迭代过程来逐步优化模型参数。它包括两个步骤：期望（E）步骤和最大化（M）步骤。在E步骤中，算法根据当前的参数估计，计算每个观测数据点属于各个成分的概率；在M步骤中，利用E步骤得到的概率，更新模型参数以最大化对数似然函数。这个过程不断交替进行，直到参数的改变达到某个收敛标准为止。 在实际应用中，EM算法常用于解决含有隐变量的问题，比如GMM中的成分分配就是一种隐变量。对于高斯混合模型，EM算法可用于估计每个成分的均值、方差以及混合比例等参数。通过极大似然估计，我们可以找到使得数据点出现概率最大的模型参数。EM算法在处理这类问题时，往往比直接求解似然函数的梯度更有效，尤其是在数据存在缺失或者隐含结构时。 总结起来，EM算法是参数估计的一种强大工具，特别是在处理高斯混合模型时。通过迭代的E和M步骤，它能够在不知道完整数据信息的情况下，有效地估计出模型参数。尽管EM算法在某些情况下可能会陷入局部最优，但其简单直观的迭代过程使其在许多实际问题中得到了广泛应用。 参考文献： 1. http://icl.pku.edu.cn/yujs/papers/pdf/EM.pdf 2. http://www.jdl.ac.cn/user/lyqing/teaching/StatLearning/10_23ParametersEstimate3_EM.pdf 3. J. A. Bilmes (1998). A General Tutorial of the EM Algorithm and its Application to Parameter Estimation for Gaussian Mixture and Hidden Markov Models. 4. http://www.it.lut.fi/publications/files/publications/192/laitosrap95.pdf