阶跃响应是信号与系统理论中的一个重要概念，特别是在吴大正编著的《信号与系统》第四章关于连续系统频域分析的部分中。阶跃响应描述的是当一个连续时间系统受到阶跃输入信号（单位阶跃函数）时，系统的输出行为。阶跃响应的数学表达式为 \( g(t) = h(t) \cdot \delta(t) \)，其中 \( h(t) \) 是系统的 impulse response，\( \delta(t) \) 是狄利克雷函数，表示突然的无限大变化。
通过推导，阶跃响应的一个显著特点是存在失真，特别是当截止频率 \( \omega_c \) 有限时，会产生振荡。这种振荡通常被称为吉布斯现象，其特征在于输出信号会有一个高于稳态值大约9%的过冲。这个过冲是由频率截断引起的，即系统无法精确响应所有频率成分的结果。
阶跃响应的最大值 \( g_{\text{max}} \) 约等于 \( 0.5 + \frac{\text{Si}(\pi)}{\pi} \) 其中 \( \text{Si}(x) \) 是sine integral函数，计算结果约为1.0895。这个值体现了系统对阶跃输入的极限响应。
在频域分析中，阶跃响应的分析与傅里叶变换密切相关。傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，它能够揭示信号中的频率成分。连续系统的频域分析通常包括信号的正交分解，如正弦信号和虚指数信号 \( e^{j\omega t} \) 的分解，这些信号构成了分析系统响应的基本工具。
正交函数的概念在这里非常重要，它们之间的内积为零，使得信号可以被分解为一系列正交的信号，这在分析系统响应的复杂性方面提供了便利。例如，一个三维正交矢量集（如 \( \vec{v}_x \), \( \vec{v}_y \), \( \vec{v}_z \)）可以用来表示三维空间中的任意矢量，同样，信号空间中的信号也可以用正交函数集进行分解。
完备正交函数集是指在一定区间内，函数集合满足内积为零的条件，并且没有任何其他非零函数与之正交，这样的函数集具有很高的分析价值，因为它们能完整地描述信号的特性。
在《信号与系统》第四章中，作者探讨了如何用傅里叶级数、周期信号的频谱以及傅里叶变换来处理非周期信号，这些内容都是理解阶跃响应和系统行为的关键部分。同时，该章还涵盖了取样定理，这是保证信号不失真的关键条件，尤其是在数字信号处理领域。
阶跃响应分析是连续系统分析的重要组成部分，它不仅涉及到信号的时域行为，也涉及到了频域分析中的诸多概念和技术，包括正交函数、完备性、傅里叶变换等，这些都是深入理解信号与系统动态行为的基础。
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