X星球车队检查与格子刷漆问题解决方案

"该资源包含了两个编程题目，分别是关于出栈次序的计算和格子刷油漆的问题。这两个问题都涉及到计算机科学中的算法设计和动态规划。" 第一个问题的解决方案利用了卡特兰数（Catalan number）的概念。卡特兰数在计算机科学中有多种应用，例如括号匹配、二叉树结构、排列组合等。在这个问题中，车辆进入和离开检查站的次序可以看作是一个开放和关闭括号的配对问题。对于n辆车，卡特兰数的公式是： \[ h[n] = \frac{1}{n + 1} \binom{2n}{n} \] 其中，\(\binom{2n}{n}\)表示组合数，即从2n个元素中选择n个的组合数。给定的代码中，计算卡特兰数的方式略有不同，它使用了递推关系： \[ h[n] = h[n-1] \times \frac{4n - 2}{n + 1} \] 这个递推公式同样能够得出卡特兰数，对于n=16的情况，代码将输出对应的卡特兰数，即可能的车辆次序数目。 第二个问题是关于二维平面上的一个矩形格子如何进行油漆刷涂的问题。这个问题可以通过动态规划来解决，每个状态代表当前已经涂漆的格子数。每个格子可以由当前格子的上、下、左、右四个方向的相邻格子扩展而来。动态规划的状态转移方程可以定义为： \[ dp[i][j] = \sum_{k=0}^{min(i, j)} dp[i-k][j-k] \] 其中，\(dp[i][j]\)表示刷到第i行第j列的总方案数。初始化边界条件，例如当i或j为0时，\(dp[i][j]\)等于1，表示只刷了一条线。用户输入的N代表矩形的宽度，我们需要计算的是从第一行第一列开始刷到第N行第N列的所有可能路径数，并且结果需要对10^9 + 7取模。 提供的代码示例中，包含了用户输入和输出的处理，以及动态规划算法的核心部分。需要注意的是，代码应该遵循ANSI C/C++标准，不依赖特定的编译环境或操作系统功能，所有的头文件必须显式地包含。 这两个问题展示了在编程竞赛如“蓝桥杯”中常见的算法和数据结构应用，包括递推关系、动态规划和组合数学。解决这些问题需要对计算机科学基础有深入的理解，并能灵活运用这些知识来设计有效的解决方案。