使用异或操作解决网易笔试编程题：最小颜料购买问题

"网易2017内推笔试编程题合集（二）.pdf" 这篇文档中的编程题目是关于如何使用最少数量的颜色颜料来绘制一幅需要多种颜色的画。这个问题通过数学上的异或操作（XOR）来解决，转化为求解矩阵秩的问题。 首先，题目描述了一个画家需要n种不同颜色的颜料，但商店可能无法提供所有颜色。画家可以通过混合两种不同的颜色A和B得到颜色(A XOR B)，这里的XOR表示异或操作。在编程中，C++中用'^'符号表示异或操作。将颜色的数值转换为二进制形式，目的是便于处理和分析。 由于数值范围是1到1,000,000,000，这对应的最大二进制位数是30位（2^30超过1亿）。因此，我们可以将每个数看作是一个30位的二进制字符串，然后对这些字符串进行异或操作，相当于在二维矩阵中进行行与行的异或运算。 在二进制异或操作中，相同位上1与1相异或得到0，0与0相异或也得到0，而1与0或0与1相异或得到1。这种运算与矩阵的秩求解有相似之处，矩阵的秩定义为行向量或列向量的最大线性无关组的向量数。通过行间异或，我们可以消除某些位上的1，使得某些行变得不同，最终可能会得到一个矩阵，其中一些行完全由0组成，而其他行则包含至少一个1。这个过程类似于通过初等行变换将矩阵化为梯形矩阵，其中非零行的数量就是矩阵的秩。 为了实现这个算法，可以编写以下步骤的代码： 1. 输入颜色的数量n，然后读取n个颜色值。 2. 将每个颜色值转换为二进制字符串，并确保所有字符串长度相同（可能需要在左边填充0）。 3. 对这些二进制字符串进行异或操作，相当于行与行的异或。 4. 持续进行异或操作，直到无法再消除任何1为止，此时得到的矩阵的秩就是所需的最小颜色数。 示例代码片段： ```cpp // 求一个数的二进制表示的最高位 int getHighBit(int num) { int highBit = 0; while (num) { num >>= 1; highBit++; } return highBit; } int main() { vector<int> colors; int n; while (cin >> n) { colors.clear(); // 读取n个颜色值 for (int i = 0; i < n; i++) { int color; cin >> color; colors.push_back(color); } // ... 进行异或操作和其他处理 ... } return 0; } ``` 这个编程题目的关键是理解如何将实际问题转化为数学问题，利用异或操作和矩阵秩的概念来找到最优化的解决方案。通过编程实现上述算法，可以计算出最少需要购买几种颜色的颜料，从而达到节省成本的目的。