3D向量的长度与单位向量规范化

"1.2 长度和单位向量 - Introduction to 3D Game Programming with DirectX 10" 在3D图形编程中，向量是至关重要的概念，它们代表了空间中的方向和大小。标题“长度和单位向量-dassidirect server”涉及到向量的长度计算以及单位向量的定义。描述中详细阐述了如何计算3D向量的长度，即向量的模。 向量的长度，也就是向量表示的有向线段的大小，可以用双垂线表示。对于一个三维向量 \( \vec{v} = (x, y, z) \)，其长度可以通过应用两次毕达哥拉斯定理来计算。首先，我们可以考虑在 \( xy \) 平面上的三角形，其边长分别为 \( x \) 和 \( y \)，斜边长度为 \( \sqrt{x^2 + y^2} \)。接着，我们考虑包含 \( z \) 的侧面，再次应用毕达哥拉斯定理，得到向量 \( \vec{v} \) 的长度公式： \( ||\vec{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \) 单位向量是一个长度为1的向量，它只表示方向而不包含大小信息。当需要将一个非单位向量转化为单位向量，即规范化操作，我们需要将原向量的每个分量除以其模长。规范化公式如下： \( \hat{v} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} = \frac{x}{||\vec{v}||}, \frac{y}{||\vec{v}||}, \frac{z}{||\vec{v}||} \) 验证这个公式，可以计算规范化后向量 \( \hat{v} \) 的长度，会发现其长度确实为1。 这个知识是在《Introduction to 3D Game Programming with DirectX 10》这本书中讨论的，作者Frank D. Luna。本书旨在教授Direct3D 10的3D游戏编程，内容包括数学基础、Direct3D的使用、着色器编程等，并分三个部分逐步深入。书中强调了数学工具的重要性，特别是对于向量的理解和操作，这对于理解3D图形编程至关重要。无论是对C++有一定了解的中级程序员，还是有其他图形API经验的开发者，或者是希望学习Direct3D 10新特性的高级程序员，都能从中获益。 在阅读本书时，作者建议按照章节顺序进行，因为每个章节都是建立在前面章节的基础上，逐步增加难度。不过，经验丰富的程序员也可以根据个人兴趣选择章节。通过阅读本书，读者不仅可以掌握Direct3D 10的基础知识，还能了解到游戏开发中的各种技术，如光照、纹理映射、阴影等，从而激发开发3D游戏的灵感。