Fisher判别法：降低维度实现高效分类

Fisher判别法是一种经典的统计模式识别方法，主要解决的是如何将高维数据有效地投影到低维空间，以便于不同类别的样本在新的投影线上能够清晰地分开。这个问题的关键在于寻找一个最佳的投影方向或线性分类器，使得类间的距离最大化，同时保持类内的差异最小化。 在分类问题中，Fisher判别法主要用于二元或多类问题，目标是构建一个线性或非线性的判别函数。对于线性判别函数，其核心概念涉及样本向量x在d维特征空间中的表示，通过权重向量w和一个阈值w0，函数g(x) = wx + w0的形式定义了样本的分类边界。线性分类器的设计通常包括以下几个步骤： 1. **样本表示**：首先，数据被表示为d维特征向量，每个特征代表样本的一个属性。 2. **线性组合**：通过计算每个样本与权重向量w的内积，得到线性组合值，这个值决定了样本在新投影空间中的位置。 3. **决策规则**：当线性组合值大于或小于阈值时，样本被分类到相应的类别。 4. **优化**：对于二元问题，Fisher判别准则会最大化类别间方差与类内方差的比值，也就是最大化分离度，以此确定最优的w和w0。 5. **扩展至多类**：对于多类问题，可能需要通过多维划分或使用广义线性判别函数，如One-vs-Rest策略，将问题分解为多个二元分类任务。 预处理阶段包括数据采集、预处理、特征提取、选择和降维等步骤，这些都对分类效果有重要影响。例如，特征选择有助于减少噪声和冗余，而数据降维则有助于降低维度，提高模型效率。 Fisher判别法适用于线性和非线性数据集，尤其在处理大量高维数据时，能有效简化复杂性。然而，它假设数据分布满足正态分布，并且类内方差较小，类间方差较大。在实际应用中，可能需要结合其他技术如核方法来处理非线性分类问题。评估分类器性能的关键指标包括准确性、召回率、精确度和F1分数等，通过验证样本进行模型的调整和优化。