高斯展开法求解薛定谔方程的Mathematica实现与算法探讨

"该文是关于使用高斯展开法在Mathematica 5.0中数值求解薛定谔方程的研究，特别是针对两体束缚问题。文章提出了两种程序方案来解决广义矩阵的本征值问题，并探讨了高斯基数和形状的影响。通过氢原子和Cornell势场下粲偶素的例子，展示了如何选择高斯基空间以获得与标准能谱和波函数相符的计算结果。高斯展开法是一种有效的数值方法，尤其适用于处理复杂相互作用的物理问题，它可以模拟近似真实物理态，通过对哈密顿矩阵进行对角化自动获取基态和激发态的能级。在量子化学中，高斯函数作为基函数已被广泛用于原子和分子轨道的计算，具有较高的精度。文章在Mathematica上实现了这两种编程方案，分析了结果与基数、基形状和势场形式的关系，为合理选择参数提供了依据。" 本文详细介绍了高斯展开法（Gaussian Expansion Method, GEM）在数值求解薛定谔方程中的应用。薛定谔方程是量子力学的基础方程，但只有少数简单的势场有解析解。因此，对于复杂系统，数值方法至关重要。传统的数值方法如节点法和Numerov方法受限于特定势场，而GEM则通过选取一系列高斯函数作为基矢，能在有限的基空间内逼近真实物理态，适用于更广泛的势场，尤其是多体问题。 在GEM中，通过高斯函数的线性组合来构建波函数，这种方法的一个关键优势在于可以直接对哈密顿矩阵进行对角化，从而获取能量本征值。文章以氢原子为例，展示了如何在不同高斯基数和形状下进行计算，同时探讨了Cornell势场下粲偶素的问题，这有助于理解在不同相互作用下如何选择合适的基参数。 作者在Mathematica 5.0中实现的两种编程方案，为理解和比较算法效果提供了实践基础。他们深入分析了数值结果与基空间大小、高斯函数形状以及潜在势场类型之间的关系，这对于优化计算策略和提高计算精度至关重要。 该研究不仅提供了数值求解薛定谔方程的实际工具，还为解决多体量子系统的数值方法提供了新视角。它强调了在数值计算中选择适当基函数和参数的重要性，为后续研究提供了有价值的参考。