线性流形上的对称正交矩阵反问题最小二乘解研究

本文档深入探讨了线性流形上对称正交对称矩阵的反问题，特别是在最小二乘解方面的理论与方法。作者臧正松针对两个核心问题进行研究： 问题I：给定矩阵X和B属于实数的n×m维空间，目标是在非空流形S={A∈R^n×n| AY = C，Y, C∈R^n×m}中寻找矩阵A，使得函数f(A) = ||AX - B||达到最小值。流形S定义了A的特定结构，即A必须满足AY=C的约束条件。解决这个问题的关键在于理解流形S的性质，以及如何在满足这些约束的同时找到最优解。 问题II：进一步，对于已知的对称正交矩阵A^*，研究如何在问题I的解集中找到一个矩阵A~，使得||A~ - A^*||在所有可能的解中最小。这个问题是寻找流形上的最佳逼近解，其结果不仅对问题I有直接应用，而且提供了关于矩阵A~的唯一性。 作者首先探讨了流形S非空的充分必要条件，并给出其明确的表达形式，这对于问题的可解性和后续分析至关重要。接着，他们通过数学分析和优化技术，探讨了在给定约束条件下如何找到最小二乘解，以及如何找到问题II的唯一解。 论文涉及的数学工具包括线性代数、流形理论、最小二乘法和矩阵运算等，对于理解对称正交矩阵在实际问题中的应用，如信号处理、数据拟合或机器学习中的特征分解等方面具有重要的理论价值。此外，该研究也为未来处理更复杂约束下的反问题提供了基础。 这篇论文不仅深化了对对称正交矩阵反问题的理解，还为数值计算和理论研究提供了一种有效的求解策略，是数学和工程领域的一个重要研究成果。