批处理梯度下降法在回归与最优化中的应用

"批处理梯度下降算法-5.1回归与最优化" 这篇文档主要讲解了线性回归和最优化方法，特别是批处理梯度下降算法在解决这些问题中的应用。首先，线性回归作为回归分析的基础，被介绍为一种预测模型，用于描述因变量与一个或多个自变量之间的线性关系。在单变量的情况下，线性回归模型可以表示为 y = ax + b，其中a是斜率，b是截距。 当涉及到多个变量时，线性回归演变为多元线性回归，形式为 y = θ₀ + θ₁x₁ + θ₂x₂ + ... + θₙxn，这里的θ₀, θ₁, ..., θₙ是模型参数，x₁, x₂, ..., xn是自变量。为了找到最佳的参数估计，通常采用最小二乘法来构建目标函数，该函数衡量模型预测与真实值之间的差异，并通过梯度下降法进行优化。 梯度下降是一种最优化算法，用于寻找使目标函数（如误差函数）最小化的参数值。算法开始时随机初始化参数θ，然后在每次迭代中，沿着梯度的反方向更新θ，以期望降低误差。学习率α决定了每次迭代中参数更新的幅度。批处理梯度下降是指每次更新参数时使用整个训练集的梯度信息，而随机梯度下降则在每次迭代时仅使用一个样本的梯度。 在某些情况下，线性回归问题可以通过求解导数等于零来获得参数的解析解，但这通常只适用于XTX可逆的情况，或者在高维问题中，仍然需要依赖数值方法，如梯度下降。 除了线性回归，文档还提到了逻辑回归（Logistic Regression），这是一种广义线性回归模型，用于分类问题。逻辑回归利用Logistic函数（Sigmoid函数）将连续的线性组合转换为(0,1)区间内的概率值。通过最大化对数似然函数，可以估计出模型参数，同样可以使用梯度下降法进行参数的迭代更新。 此外，文档还简要提到了局部加权线性回归（LWR），这是一种非参数学习算法，通过设置权重来适应局部数据特性，其中权重随样本距离的增加而衰减，带宽τ是控制这一衰减的关键参数。 这篇文档涵盖了线性回归的基本概念、最优化方法，特别是梯度下降法的应用，以及Logistic回归的原理，为理解这些基础机器学习技术提供了全面的介绍。