空间几何变换：从齐次坐标到射影变换

"空间几何变换1" 这篇内容主要介绍了空间几何变换中的几种重要变换类型，包括射影变换、仿射变换、比例/相似变换以及等距变换，并涉及到矩阵表示和齐次坐标的运用。以下是这些知识点的详细说明： 1. **射影变换**： 射影变换是一种特殊的几何变换，它保持了空间中的直线性质，即如果两个点在变换前位于同一条直线上，那么它们在变换后仍然位于同一条直线上。射影变换在射影空间荷兰坐标系（又称射影平面）中尤其重要，它可以将三维空间中的点映射到射影平面上，形成射影线。 2. **仿射变换**： 仿射变换包括旋转、平移、缩放和剪切等操作，它保持了平行性，即如果在变换前两条直线平行，那么在变换后它们依然平行。仿射变换可以通过一个不包含最后一行全为0的方阵来表示，这个矩阵称为仿射变换矩阵。 3. **比例/相似变换**： 比例变换仅涉及大小的改变，保持形状不变；相似变换不仅包括比例，还包含旋转和平移，它保持了形状和方向的一致性，但可能改变大小。在几何中，两个形状是相似的，意味着它们的对应角相等，对应边的比例相同。 4. **等距变换**： 等距变换是最简单的几何变换之一，它保持了距离的不变性，即任意两点间的距离在变换前后保持不变。等距变换可以看作是旋转、平移或反射的组合。 5. **齐次坐标**： 齐次坐标是表示几何对象的一种方式，特别是在进行坐标变换时非常有用。它通过在原始坐标基础上增加一个额外的维度（通常设为1），使得矩阵运算能够方便地表达旋转、平移等操作。在齐次坐标下，点、直线甚至二次曲线都可以被表示为向量，并且可以通过乘以非零常数来简化表示，而不改变其几何意义。 6. **坐标变换矩阵**： 在三维空间𝑰𝑹3中，坐标变换矩阵是一个4x4的矩阵，而在二维空间𝑰𝑹2中，是3x3的矩阵。这些矩阵用于描述各种几何变换，如旋转、平移、缩放等。矩阵的每一列对应一个基向量的新位置，而矩阵的逆则表示反向变换。 7. **无穷远点和射影空间**： 在射影空间𝑰𝑷2中，无穷远点是那些在传统坐标系统中无法表示的点，通常用𝑤=0的齐次坐标表示。无穷远线是由所有无穷远点构成的，它在射影平面上表现为一条直线，对应于传统坐标系中的“无穷远”。 8. **射影平面模型**： 射影平面模型是将射影空间 IPL2 视为三维空间 ÎR3 中一组过原点的射线，通过不同的尺度因子（k）可以表示所有可能的射线，从而形成射影平面。 这些概念和方法在计算机图形学、几何建模、图像处理等领域有着广泛的应用，例如在3D建模软件中进行物体的旋转、缩放和位移，或者在图像处理中实现透视校正等。理解和掌握这些变换对于进行精确的几何计算和视觉效果的创建至关重要。