相平面法分析非线性系统：二阶系统的响应

"若继电系统的方框图如图-所示-第7章--相平面法" 相平面法是一种专门用于分析非线性控制系统动态行为的技术，尤其适用于二阶或一阶系统的研究。它通过将系统状态变量以相变量的形式表示，并在相平面上绘制出这些变量随时间变化的关系，即相轨迹，来理解和预测系统的动态响应。 在图7-39中，我们假设继电系统的特性如图7-38（b)所示，这是一个非线性控制系统的实例。状态变量是描述系统状态的关键参数，对于二阶系统，例如，可以选取输出量y(t)和其相关的状态变量c(t)作为一组状态变量，或者选择e(t)和y(t)作为另一组。值得注意的是，状态变量的选择并非唯一，只要能够完整描述系统的运动状态即可。 相变量是一组满足导数关系的状态变量。在二阶系统中，如式(7-12)所示，通常选取两个状态变量x1和x2，它们之间的关系由常微分方程描述。通过解这些方程，可以得到相轨迹方程，也就是描述相变量如何随时间变化的数学表达式。 在相平面法中，每个点的坐标代表了系统在某个时间点的状态，而相轨迹则是系统从一个状态到另一个状态的路径。例如，图中的曲线a是将输出响应y(t)及其导数c(t)在相平面上的表示，形成了所谓的"相轨迹"曲线。通过分析相轨迹，我们可以获取到系统的动态性能指标，如最大超调量、延迟时间、上升时间、峰值时间和调节时间等。 线性系统的相轨迹分析相对简单，因为它们的特征方程根可以直观地揭示系统的稳定性。如果特征方程的根为实数，则系统的行为可以通过相坐标(x, x')直接解析。例如，当特征根为负实数时，系统是稳定的；当特征根为正实数时，系统是不稳定的；而当特征根为复数时，系统可能会表现出振荡行为。 在非线性系统中，相平面法可能会变得更为复杂，因为相轨迹可能不再遵循简单的直线或圆周路径，而是呈现出更复杂的几何形状。然而，通过这种方法，我们仍然能够洞察系统的行为模式和潜在的稳定或不稳定区域。 相平面法是理解和设计非线性控制系统的一种强大工具，它提供了一种直观的方式去理解系统的动态响应，对于系统分析、优化和控制策略的制定具有重要意义。通过深入研究系统的相轨迹，工程师能够预测并调整系统的行为，以满足特定的设计要求。