预处理Hermitian与skew-Hermitian分裂迭代法的改进

"预处理Hermitian和skew-Hermitian分裂迭代法"，作者石艳超、徐安农，发表在2010年《安徽大学学报(自然科学版)》第34卷第1期，主要讨论了大型稀疏非Hermitian正定线性方程组的求解方法。 在数值线性代数中，解决大型线性方程组是常见且关键的问题，尤其是在科学计算和工程应用中。Hermitian和skew-Hermitian分裂迭代法（HSS）是由白中治、Golub和Ng提出的，用于处理系数矩阵为Hermitian（复共轭对称）和skew-Hermitian（复共轭反对称）的线性方程组。这类方法通常具有较好的收敛性质，尤其是对于Hermitian正定矩阵，因为它们对应的特征值都是正实数，这有利于快速收敛。 然而，对于非Hermitian正定矩阵，HSS方法的收敛性可能会受到影响。非Hermitian矩阵可能有复数特征值，导致迭代过程复杂且收敛速度变慢。为了改善这种情况，本文提出了预处理Hermitian和skew-Hermitian分裂迭代法（PHSS）。预处理是一种常见的策略，通过构造适当的预条件器来加速迭代过程，使其对初始解的敏感度降低，并提高收敛速度。 PHSS方法的核心在于设计一个有效的预条件器，它能够使迭代过程更好地适应原始问题的特性。论文中的理论分析证明了预处理后的HSS方法可以无条件地收敛到线性方程组的唯一解。这意味着不论初始近似解如何，只要预条件器选择得当，迭代法都将稳定地收敛到正确的解。 在实际应用中，选择合适的预条件器是一项挑战，因为它需要考虑问题的特定结构和计算效率。通常，预条件器的设计会基于矩阵的谱性质、稀疏结构以及问题的物理背景。例如，对于大型稀疏矩阵，基于块或者多级方法的预条件器可能是有效的选择。 预处理Hermitian和skew-Hermitian分裂迭代法为解决非Hermitian正定线性方程组提供了一种有效途径，特别是在大型稀疏系统中。通过合理的预处理，可以显著提高迭代法的收敛性能，从而减少计算时间和资源消耗。这种方法在科学计算、工程优化、图像处理等多个领域都有潜在的应用价值。