数值数学与计算：第六版精华公式与图形解析

"Numerical mathematics and computing" 是一本由 Ward Cheney 和 David Kincaid 合著的关于数值计算的第六版教材。这本书由 Cengage Learning 出版，并提供了多种编程语言（如 Matlab, Maple, Mathematica, Fortran 90/77, C/C++, Java）的源代码供读者下载和实践。 在数值计算这个领域，理解和掌握一些基本的公式与计算方法至关重要。书中的部分内容展示了这些基础公式，涵盖了代数、几何、三角学以及解析几何等多个方面。 1. **代数公式**： - 等比数列求和公式：\(1 + r + r^2 + \ldots + r^{n-1} = \frac{r^n - 1}{r - 1}\) - 对数换底公式：\(\log_a x = \frac{\log_b a}{\log_b x}\) - 等差数列求和公式：\(1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}\) - 绝对值不等式：\(|x| - |y| \leq |x \pm y| \leq |x| + |y|\) 2. **几何公式**： - 圆的面积：\(A = \pi r^2\) (其中 \(r\) 是半径) - 圆的周长：\(C = 2\pi r\) - 梯形的面积：\(A = \frac{1}{2} h(a + b)\) (其中 \(h\) 是高，\(a\) 和 \(b\) 是平行边) - 三角形的面积：\(A = \frac{1}{2} bh\) (其中 \(b\) 是底，\(h\) 是高) 3. **三角学公式**： - 正弦平方加余弦平方恒等式：\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) - 互补角的正弦和余弦关系：\(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\), \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\) - 余切的倒数等于正切：\(1 + \tan^2 x = \sec^2 x\) - 两角和的正弦和余弦公式：\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\), \(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\) - 正弦和余弦的诱导公式：\(\sin(-x) = -\sin x\), \(\cos x = \cos(-x)\), \(\cosh x = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\) - 双曲正弦和余弦的定义：\(\sinh x = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\), \(\cosh x = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\) 4. **图形与函数**： - 描述了 \(y = \sin x\)，\(y = \cos x\) 和 \(y = \tan x\) 的图像是如何变化的，以及它们的反函数 \(y = \arcsin x\)，\(y = \arctan x\) 和 \(y = \arccos x\) 的图像。 5. **解析几何公式**： - 直线斜率公式：\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) (通过两点 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 计算) - 直线的标准方程：\(y - y_1 = m(x - x_1)\) - 两点间的距离公式：\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) 这些公式构成了数值计算的基础，对于解决实际问题，如科学计算、工程应用、数据分析等都至关重要。书中还可能涵盖误差分析、数值线性代数、数值积分、微分方程求解等内容，这些都是数值计算领域不可或缺的知识点。通过深入学习和实践，可以提高解决复杂计算问题的能力。