程佩青《数字信号处理》第三版：离散时间信号与系统的频率响应分析

"《频率响应的几何确定法》是程佩青教授在数字信号处理课程中的第三版课件，主要探讨了如何通过z平面上的零极点分布来确定信号的频率响应。" 在数字信号处理领域，频率响应是描述系统对不同频率输入信号响应的重要特性。对于线性时不变系统（LTI系统），其频率响应可以通过系统的冲激响应（或单位阶跃响应）的傅里叶变换来获取。在离散时间系统中，Z变换是分析系统频率响应的关键工具。 离散时间信号，也称为序列，是由离散时间点上的连续函数值组成的。例如，对一个连续时间信号xa(t)每隔固定时间T采样，可以得到序列xn = xa(nT)，其中n为整数。离散时间信号的表示方法包括公式表示、图形表示和集合符号表示。 常用的离散时间序列有两个基本类型： 1. 单位抽样序列ε(n)：当n=0时，ε(n)=1，其他情况下ε(n)=0。这个序列在Z变换中扮演重要角色，因为所有离散时间信号都可以表示为单位抽样序列的线性组合。 2. 单位阶跃序列u(n)：当n>=0时，u(n)=1，当n<0时，u(n)=0。单位阶跃序列是系统分析中的基础序列，因为它可以代表系统的初始条件。 频率响应的几何确定法涉及到在Z平面上分析系统的零极点分布。Z变换将离散时间信号映射到复频域，其中Z平面的点对应于复频率ω。对于LTI系统，如果已知系统的传递函数H(z)，那么它的零点和极点都在Z平面上。频率响应H(e^jω)是H(z)在Z=ejω处的值，其中ejω是单位圆上的点，代表频率ω。系统的稳定性和频率响应的性质可以通过零极点分布来判断： - 如果所有的极点都在单位圆内，系统是稳定的。 - 零点和极点的位置决定了系统对不同频率输入的放大或衰减程度。 - 极点和零点的对数距离决定了系统频率响应的滚降率，即频率响应随频率增加而衰减的速度。 在程佩青教授的课件中，可能会深入讨论如何利用这些概念来设计滤波器，分析系统特性，以及如何通过零极点配置实现特定的频率选择性。此外，还会涉及奈奎斯特抽样定理，它指出为了不失真地恢复连续时间信号，离散时间信号的采样频率至少应是连续信号最高频率的两倍。理解这些基本概念对于理解和应用数字信号处理至关重要。