迭代法求解秩亏线性方程组最小二乘问题

"关于秩亏损线性方程组最小二乘解的一种迭代法 (2005年)" 这篇文章是2005年发表在上海师范大学学报（自然科学版）上的一篇自然科学论文，主要探讨了一种用于解决秩亏损线性方程组最小二乘问题的迭代方法。线性方程组 Ax = b 在矩阵 A 的秩小于其行数或列数时会出现秩亏损情况，这使得方程组无解或有无穷多解。在这种情况下，我们通常寻求的是最小二乘解，即找到一个向量 x，使得误差向量 e = Ax - b 的范数最小。 作者提出的方法是建立在迭代的基础上，与解一致线性系统的迭代方法相关联。迭代过程由以下公式描述：^A + γI(x_i) = γx_{i-1} + ^b，其中^A 是矩阵 A 的广义逆，I 是单位矩阵，γ 是满足特定条件的实数（0 < γ < ρ），ρ 是文章中提及的一个与系统相关的实数。这个迭代公式意味着每次迭代都会根据前一次解的修正来逼近最小二乘解。 文章指出，在某些条件下，存在一个实数ρ，当选择的γ值在0到ρ之间时，迭代序列x_0, x_1, x_2, ... 将会收敛到最小二乘解。这种方法的优势在于，对于某些情况，它可能比已有的迭代方法更为简单。 关键词包括“最小二乘解”、“迭代方法”、“一致线性系统”和“J”。文章的贡献在于提供了一个新的迭代算法，用于处理秩亏损线性方程组的最小二乘问题，这在处理实际问题时具有广泛的应用价值，例如在数据拟合、信号处理、工程计算等领域。通过这种迭代法，即使面对非兼容的线性方程组，也能有效地逼近最佳近似解。