线性矩阵不等式（LMI）在不确定系统稳定性中的应用

"LMI方法及滑模控制理论与应用研究" 线性矩阵不等式（LMI）是一种在控制理论中用于分析和设计系统稳定性的工具。它源于19世纪末Lyapunov稳定性理论，但直到20世纪60年代后期，随着正实性定理、无源性定理和小增益定理与二次最优控制的关系被发现，以及通过求解代数Riccati方程来解决LMI问题的方法出现，LMI方法才逐渐受到重视。80年代，由于LMI问题能够转换为凸优化问题，这使得利用计算机求解变得更加便捷，从而LMI方法在不确定系统和二次稳定性问题中得到了广泛应用。 在控制理论中，LMI方法被用来判断和设计系统的稳定性。例如，定义3-2-1描述了一个时变系统的二次稳定性，其中系统动态由状态向量x和时变矩阵A(t)决定。如果存在一个正定矩阵P和正定常数S，使得LMI条件（3.2.2）对所有状态x和时间t成立，那么系统被认为是二次稳定的。这个条件确保了系统的Lyapunov函数V(x) = xTPx是非增的，从而保证了稳定性。 定义3-2-2进一步扩展了这个概念，引入了控制输入u(t)，使得系统可以是线性常反馈二次稳定的。这里，除了系统矩阵A(t)之外，还包含控制增益矩阵B(t)。通过找到适当的正定矩阵P，正定常数S，和矩阵G，可以确保即使在不确定性和外部扰动存在的情况下，系统仍然保持稳定。 引理3-2-1提供了一个关于不确定系统的鲁棒稳定性条件。这个引理表明，如果存在一个正定矩阵P使得LMI（3.2.5）和（3.2.6）成立，那么系统在包含不确定量F(x, t)的情况下是稳定的。这个引理在设计滑模变结构控制（Sliding Mode Control, SMC）时非常有用，因为它允许我们处理系统中的不确定性。 滑模变结构控制是一种强大的控制策略，具有完全的鲁棒性，即不变性。尽管SMC在过去的几十年中已经取得了很多理论和应用上的进步，尤其是在机器人、航空航天、电力和电子系统等领域，但其主要挑战在于“抖动”现象。抖动会导致高频分量和设备疲劳，限制了SMC的广泛应用。为了消除抖动，研究人员提出了多种方法，但这些方法往往以牺牲滑动模态为代价，导致静差问题。 对于不满足匹配条件的不确定系统，传统的SMC不变性不再适用，这促使研究人员寻找新的设计方法。此外，离散SMC问题也是当前研究的重点，因为实际应用通常涉及离散采样，采样周期对控制性能有很大影响。尽管已经取得了一些进展，但现有的离散SMC解决方案仍有待完善，特别是对于多输入系统的设计和无静差控制的需求。 LMI方法在处理不确定性和稳定性问题中发挥着关键作用，而滑模变结构控制则为解决复杂系统控制提供了强鲁棒性的解决方案。然而，抖动和离散化问题的解决仍然是控制理论和实践中亟待解决的关键挑战。