圆参数估计：最小二乘法程序验证

本文档主要探讨了圆的最小二乘拟合方法，特别是基于论文《圆参数估计的相对代数距离法》（作者：李雄军）的实现。最小二乘拟合是一种统计学中的优化技术，常用于数据拟合问题，尤其适用于噪声较大的数据集，目的是找到一个模型（如圆的方程）来近似一组观测数据，使得所有数据点到该模型的误差平方和最小。 在提供的代码片段中，定义了一个名为`FitCircle`的函数，它接收一个点数组`p`、点的数量`Point_num`以及三个输出参数`a`、`b`和`r`，这分别代表拟合圆的参数。圆的参数化形式通常为`(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2`，其中`(h, k)`是圆心坐标，`r`是半径。 算法的核心步骤如下： 1. **残差构建**：对于每个点`(xi, yi)`，计算其到理想圆心的距离`ri`，然后构建残差项`Ei`，即`(ri^2 - r^2) / r`。这里的`delta(ri) = ri - r`，表示点到圆的理想距离与实际半径之差。 2. **代价函数**：设计代价函数`Jr(a, b, r)`，它是残差平方和的平方，即`sigma((ri^2 - r^2) / r)^2`，其中`sigma`是对所有点的加权平均，用于衡量整体拟合度。 3. **梯度下降**：利用偏导数计算`a`、`b`和`r`的最优值。通过设置`Jr(a, b, r)`对`a`、`b`和`r`的偏导数等于0，可以形成一个三元一次方程组。解这个方程组得到： - `a`的表达式依赖于矩阵的行列式，即 `(Lyy*(Lxx^2+Lxy^2) - Lxy*(Lx^2y+Lyy^2)) / (2*(Lxx*Lyy-(Lxy)^2))`，其中`Lxx`、`Lxy`、`Lyy`是关于点和权重的矩阵元素。 - 类似地，`b`和`r`的表达式也有类似的形式。 4. **半径的估计**：最后，通过计算数据点的均值和方差，得到半径`r`的估计值为`4 * sqrt(sigma(ri^4/n))`，其中`n`是点的数量。 这段代码实现了圆的最小二乘拟合算法，用于估计给定点集中圆心和半径的最佳参数，以便最大程度地减小点到理想圆的平均误差。通过这种方法，可以处理实际数据中的噪声和不精确测量，提供一个有效的数据模型。