数字信号处理：IIR滤波器设计与单位阶跃、冲激信号分析

"用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器-高西全-丁玉美-数字信号处理课件(第三版)" 本文将深入探讨如何使用脉冲响应不变法（Pulse Response Invariance Method）设计无限 impulse response（IIR）数字低通滤波器，该方法主要应用于数字信号处理领域。数字信号处理是通过数值计算对信号进行处理的技术，具有灵活性、高精度、高稳定性和易于大规模集成的优势，可以实现模拟系统难以达成的功能。 在数字信号处理中，我们关注的是时域离散信号和时域离散系统。时域离散信号是指以离散形式表示的时间变量信号，通常在数字设备中处理。数字信号处理涉及到对这些信号的分析、变换和操作，例如滤波、压缩、解压缩等。IIR滤波器是一种特殊的数字滤波器，它利用反馈机制，可以在有限的硬件资源下实现宽频带或陡峭滚降特性。 脉冲响应不变法是设计IIR滤波器的一种方法，其基本思想是保持模拟滤波器和数字滤波器之间的脉冲响应一致。在s平面和z平面上，这种映射关系被详细阐述。s平面通常用直角坐标表示，而z平面则用极坐标表示。s平面上的复数s可以转换为z平面上的复数z，z的模仅与s的实部对应，z的相角只与s的虚部Ω相关。 设计数字低通滤波器时，首先需要确定模拟低通滤波器的传递函数，然后将其转换为z域的传递函数。这个转换过程涉及到s平面到z平面的映射，如上述描述所示，通过这种映射，可以保持滤波器的脉冲响应特性不变。然而，需要注意的是，这种方法可能会导致数字滤波器的不稳定，因为转换过程中可能会引入过度的频率混叠。 在实际应用中，设计IIR滤波器时，还需要考虑系统的稳定性和选择性。稳定性的判断基于系统的极点位置，所有极点必须位于单位圆内以确保系统的因果性和稳定性。滤波器的选择性则取决于其频率响应，低通滤波器允许低频信号通过，而衰减高频信号。 此外，数字信号处理的基础包括对离散信号的理解，如单位阶跃信号和单位冲激信号。单位阶跃信号是定义在时间轴上的一个阶跃函数，用于表示信号的突然变化；单位冲激信号，也称为狄拉克δ函数，虽然在数学上是一个理想化的概念，但在实际应用中通常用一系列接近于零但面积为1的脉冲序列来近似。 单位冲激信号具有独特的性质，包括其瞬时值、无穷大峰值以及面积为1的特性。这些性质使得冲激信号在信号处理中具有重要作用，例如作为测试信号或者在傅里叶变换中起到抽样作用。冲激信号还满足奇偶性、比例性和卷积性质，这些都是在分析和设计滤波器时不可或缺的基本工具。 脉冲响应不变法是设计IIR数字低通滤波器的一种有效途径，它依赖于对s平面和z平面之间映射关系的理解，以及对数字信号处理基础概念如单位阶跃信号和单位冲激信号的掌握。在实际设计中，还需要考虑滤波器的稳定性和性能指标，以满足特定的应用需求。