线性空间与内积性质：向量内积、长度与基

"该资源是关于矩阵论的复习材料，主要涵盖了向量内积和长度的性质，线性空间的概念，以及线性子空间的定义和性质。" 在矩阵论和线性代数中，向量内积和长度是基本概念，它们在几何和代数分析中扮演着核心角色。向量内积是两个向量的乘积，它不仅给出了向量之间的关联度量，还决定了向量的长度和角度。描述中提到，线性无关的向量集合的充分必要条件是其Gram矩阵非奇异。Gram矩阵是由这些向量构成的矩阵的转置与自身的乘积，如果它是非奇异的，即行列式不为零，那么这组向量就是线性无关的。 线性空间V是一个集合，其中的元素（向量）可以进行加法和数乘运算，并且这些运算满足特定的规则，例如封闭性、加法交换性和结合律等。线性空间的维数是指能生成整个空间的最小线性无关向量组的数量。一组基是线性空间中的一组线性无关向量，它们可以表示空间中的任何其他向量。如果一个线性空间有n个线性无关的向量且能表示所有向量，那么这组向量就是该空间的一组基，且空间的维数为n。 矩阵T的存在性揭示了基之间的转换关系，如果一个基到另一个基的转换矩阵T是可逆的，那么这两个基都是线性空间的有效基。向量在不同基下的坐标可以通过这个可逆矩阵T进行转换。具体来说，向量α在基下的坐标可以表示为α = T * x，其中x是α在新基下的坐标向量。 线性子空间是线性空间V的子集，它保持了加法和数乘运算的性质。如果W是V的非空子集，并且对任何向量α, β ∈ W和任何标量k，都有α + β ∈ W且kα ∈ W，那么W就是V的子空间。两个向量集合等价意味着它们生成相同的子空间，即它们的生成集相同。此外，一个向量集合生成的子空间W，其维度等于该集合中向量的极大线性无关子集的大小，这是线性子空间的一个重要属性。 最后，两个子空间的交集和和仍然是线性空间V的子空间，这反映了子空间的封闭性。交集包含于两个子空间，而和空间包含了每个子空间的所有可能线性组合。 总结来说，这部分复习材料强调了向量内积、线性空间的维数、基的定义与转换、线性子空间的构造以及子空间的性质。这些内容对于理解和应用线性代数，尤其是在解决实际问题时，是非常基础且重要的。