多项式实根计数：Hermite的方法

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"这篇文档介绍了如何不用实际求解多项式，而是通过计算多项式的系数来确定多项式的实根个数。主要引用了Basu, Pollack 和 Roy (2003) 以及 Cox, Little 和 O’Shea (1991, 1998) 的书籍作为理论依据，并在不同情况下分为了单变量和多变量两种情况讨论。文档的焦点在于解决一个特定问题：给定有限集合P中的多项式和另一个多项式Q，找出在P的零点集Zero(P, Rk)上，Q值正负的零点个数差，即Tarski查询或Sturm序列问题。" 本文档主要探讨的是多项式实根计数的方法，特别关注于如何在不直接求解多项式的情况下统计实根的数量。在数学中，实根指的是多项式等于零的实数解。Hermite的根计数方法是这种方法的一个例子，它基于多项式系数的性质，特别是在有理数域Q、实闭域R和代数闭域C（通常取为复数域C）上的分析。首先，文档定义了基本符号：K表示特征为0的域，R表示K的实闭扩展，而C表示R的代数闭扩展。标准的例子是K=Q（有理数），R=R（实数），C=C（复数）。此外，文档还指出可以选取R为实代数数域，C为代数数域。文档分为三个部分，分别是“Introduction”、“The univariate case”和 “The multivariate case”，分别对应单变量和多变量的情况。在介绍部分，提出了一个问题，即给定一组多项式P和另一个多项式Q，在P的零点集Zero(P, Rk)上，计算Q值正的零点数量与负的零点数量之差，这个差值被称为Tarski查询或Sturm序列。Sturm序列是一种有效的算法，通过比较两个多项式在边界点处的根的相对顺序来计算它们共同的根的个数，从而可以用来确定实根的个数。在单变量情况中，Sturm序列特别有用，因为对于两个多项式P和Q，构建的Sturm序列能直接给出P和Q在任何实数点的根的个数差异。而在多变量情况中，问题变得更复杂，因为需要处理多个变量的交互作用。此时，可能需要利用如Gröbner基或者代数几何中的其他工具来解决。总结来说，这篇文档深入探讨了多项式实根计数的理论和方法，特别是Hermite的根计数方法和Sturm序列的应用，这些理论和方法在数学和计算机科学中对于理解和处理多项式方程系统具有重要意义。

REAL ALGEBRAIC GEOMETRY 3

• The K-vector space A is ﬁnite dimensional if and only if P is zero-

dimensional.

• If the dimension of A is ﬁnite then the number of solutions of P in

is less than or equal to this dimension.

Proof. See Cox, Little and O’Shea(1991,1998) or Basu, Pollack and Roy(2003)

for a pro of. 

Notation: Let A be a ﬁnite dimensional algebra over the ﬁeld K. For

f in A, let L(f) : A → A be the linear multipl icat ion map deﬁned by

L(f)(g) := fg. For q ∈ A, let B(q) denote the quadratic form on A de-

ﬁned by B(q)(f) := Trace(L(qf

)). The notation used for this quadratic

form is somewhat diﬀerent in the polynomial setting: Let P b e a ﬁnite

subset of K[X

, . . . , X

], let A := K[X

, . . . , X

]/Ideal(P, K) and let Q

be an element of K[X

, . . . , X

]. Then Herm(P, Q) denotes the quadratic

form on A (assumed to be ﬁnite dimensional) deﬁned by Herm(P, Q)(f ) :=

Trace(L(Qf

)) and this form is called the Hermite quadratic form de-

termined by P and Q. We shall use the expressions Rank(Herm(P, Q))

and Signature(Herm(P, Q)) to denote the rank and signature of this qua-

dratic form.

The following result provides an answer to the problem raised above.

Proposition 2. Hermite’s root counting. Let P be a ﬁnite set of poly-

nomials which have a zero-dimensional solution set. Then the rank of the

quadratic form Herm(P, Q) equals the number of distinct roots of P in C

at which Q is diﬀerent than zero; in symbols,

Rank(Herm(P, Q)) = #{x ∈ Zero(P, C

) : Q(x) 6= 0}.

The signature o f the quadratic form Herm(P, Q) equals the diﬀerence be-

tween the number of distinct roots of P in R

at which Q is positive and the

number of distinct roots in R

at which Q is negative; in symbols,

Signature(Herm(P, Q)) =

#{x ∈ Zero(P, R

) : Q(x) > 0} − #{x ∈ Zero(P, R

) : Q(x) < 0}.

***TODO: Perhaps insert a simple example here.

The following subsections provide proofs of this result. In particular, the

next subsection provides a proof in the univariate case. And the following

subsection deals with the multivariate case. The analyses of the two cases

are similar. We use the following result (which we proved in an e arlier

section) in both cases.

Proposition 3. Decomp ositi on using idempotents. Let A be a com-

mutative ring with identity. Let e

, . . . , e

be elements of A which satisfy

the following conditions:

• e

+ e

+ · · · + e

= 1 and

• if i 6= j then e

= 0.

Then

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