运筹学讲义：影子价格与灵敏度分析

"该讲义主要讲解了运筹学中的影子价格以及其在灵敏度分析中的应用，特别是在运输问题中的理解与计算。" 在运筹学中，影子价格是一个重要的概念，它关联于线性规划问题的对偶解，尤其是在资源限制的情况下，对于优化目标的影响。影子价格是对原始问题约束条件右侧常数（即资源限制）的敏感性度量，表示当这些常数增加一个单位时，最优目标函数值的相应增量。简而言之，它是资源价值的边际表示，即在当前最优解决方案中，每增加一单位资源所能带来的额外收益。 影子价格的经济含义是，它反映了在当前最优配置下，资源的边际使用价值。例如，在生产计划中，影子价格可以用来估计增加或减少某种资源将如何影响总利润。如果一个资源的影子价格为正，那么增加这种资源会增加利润；反之，如果影子价格为零，则表明该资源未被完全利用，增加也不会带来额外利润。如果影子价格为负，意味着该资源过剩，减少反而可能增加总收益。 在运输问题中，影子价格可以帮助决策者理解哪些产地或销地的运输能力是最有价值的，以及如何调整运输策略以最大化利润。通过分析影子价格，可以确定是否需要扩大某个产地的产量，或者增加对某个市场的供应，以便更有效地利用现有资源。 单纯形法是求解线性规划问题的一种常用方法，其表中的松弛变量所对应的检验数的相反数即为影子价格。这表明在当前的最优解基础上，增加资源限制的任何变动都会通过影子价格反映在目标函数的变化上。 两个关键定理进一步解释了影子价格的意义： 1. 如果生产一个单位的产品的资源消耗按影子价格计算的支出等于销售该产品所得收入，那么生产这个产品是有利可图的。反之，如果支出大于收入，则不应生产。这有助于决策者判断产品的生产是否合理。 2. 当资源供大于求时，其影子价格为0，表示资源没有被充分利用；若资源供求平衡，影子价格大于等于0，意味着资源被充分利用或者刚好满足需求。 影子价格是运筹学中理解和优化线性规划问题的关键工具，它提供了一种量化资源价值和决策依据的方法，特别适用于资源有限的经济活动分析。通过对影子价格的敏感性分析，管理者可以更好地调整策略，实现资源的最大化利用，提高经济效益。