共轭梯度法在无约束最优化问题中的应用

"最优化理论与算法的第四章主要探讨了共轭梯度法，这是一种用于解决无约束最优化问题的有效算法。该方法结合了最速下降法的优点，避免了锯齿形的迭代路径，同时减少了牛顿法中的大量计算工作。共轭梯度法具有二次收敛性质，尤其在处理二次函数时，可以在有限次迭代后找到最优解。" 在共轭方向法中，关键概念是共轭方向。如果一个对称正定矩阵G和一组非零向量满足特定的共轭条件，那么这些向量被称为G-共轭。当矩阵G是单位矩阵I时，共轭性就退化为正交性。此外，一组G-共轭向量必然是线性无关的。 共轭方向法的算法流程包括以下步骤： 1. 初始化迭代点x_0，计算梯度g_0，并选择初始共轭方向d_0，使得d_0与g_0正交。 2. 在每个迭代步骤k，选取沿d_k方向的步长α_k，使目标函数f(x)下降最快，更新点x_{k+1}=x_k+α_k*d_k。 3. 计算新的共轭方向d_{k+1}，确保它与之前所有方向正交，并满足共轭条件。 4. 重复步骤2和3，直到达到预设的终止条件或找到最优解。 共轭方向法的一个重要定理是，当应用于正定二次函数时，算法最多经过n步精确一维搜索就可以终止，而且找到的每个点x_i都是目标函数在线性流形上的局部极小值。这是因为每个迭代点处的梯度与之前的搜索方向正交，保证了算法的收敛性。 这个定理的证明基于二次函数的性质，通过迭代过程中梯度与共轭方向的正交关系，可以推导出在n+1步后，所有坐标轴方向上的梯度分量都将为零，这意味着找到了目标函数的全局最小值。因此，共轭方向法在处理这类问题时表现出高效性和实用性，尤其在大型优化问题中，因为它避免了计算和存储Hessian矩阵的高成本。