Crouzeix-Raviart元有限体积元方法在抛物积分微分方程中的误差分析

"这篇文章是关于抛物积分微分方程的有限体积元方法，特别是使用Crouzeix-Raviart元进行数值求解的研究。作者牛霄和毕春加探讨了这种方法在$H^1$-和$L^2$-范数下的误差估计，并提供了最优阶的误差分析。该研究在烟台大学数学与信息科学学院完成，属于首发论文。" 抛物积分微分方程(PIDEs)是一类重要的偏微分方程，它们在物理、工程和金融等多个领域有着广泛的应用。在实际问题中，由于解析解往往难以获得，因此需要借助数值方法来求解。有限体积元方法(Finite Volume Element Method, FVEM)是一种结合了有限体积法和有限元法优点的数值计算技术，它在保持物理守恒性和几何灵活性方面具有优势。 Crouzeix-Raviart元是有限元方法中的一种非一致插值元素，它允许节点处的梯度不连续，这使得它在处理带有跳跃系数或者边界条件的问题时特别有效。在本文中，作者将这种元素应用到抛物积分微分方程的有限体积元框架内，以解决可能存在的复杂边界条件和非均匀系数问题。 为了分析这种方法的精度，作者首先引入了Ritz-Volterra投影算子。这是一个常用的工具，用于将连续函数投影到有限维空间，以便于进行误差分析。通过研究该投影算子在$H^1$-和$L^2$-范数下的逼近性质，可以得到解的近似质量。$H^1$-范数考虑了函数及其梯度的平方范数，而$L^2$-范数则仅关注函数自身的平方范数，这两者都是评估解质量的重要标准。 在证明主要结论的过程中，作者给出了在$H^1$-和$L^2$-范数意义下，有限体积近似解与真实解之间的最优阶误差估计。这意味着随着网格尺寸减小，误差将以预定的最佳速率减小，这是数值方法中理想的行为。这样的结果对于优化算法、确定合适的网格大小以及确保数值解的可靠性都至关重要。 这项工作不仅对Crouzeix-Raviart元的有限体积元方法在抛物积分微分方程中的应用进行了深入研究，还提供了理论误差分析，为实际问题的数值求解提供了有力的理论支持。关键词包括有限体积元方法、Crouzeix-Raviart元、抛物积分微分方程以及误差估计，这些关键词反映了研究的核心内容和方法。