高斯随机过程X(t)的一维与二维分布详解

在研究生课程《随机过程与排队论》中，何选森编撰的教材中提供了一道习题解答，涉及随机过程X(t)的一维和二维分布计算。随机过程X(t)定义为X(t) = A + Bt，其中A和B是独立的标准高斯随机变量。因为X(t)是由高斯随机变量的线性组合构成，其分布特性可以利用高斯分布的性质来确定。 首先，我们分析一维分布。随机变量X(t)的均值（EXt）可以通过期望运算得出，由于A和B各自均值为0，且方差都是1，所以： EXt = EA + EBt = 0 + 0 = 0 方差DXt = DA + DBt^2 = 1 + t^2，因此X(t)是一维标准正态分布，即X(t)～N(0, 1 + t^2)。 接下来，我们讨论二维分布。对于任意两个不同时刻t1 > 0 和 t2 > 0，随机变量 [X(t1), X(t2)] 构成一个二维高斯随机向量。它们的数学期望和协方差矩阵可以分别表示为： EXt1 = EXt2 = 0 EXt1Xt2 = EA(Bt1 * A) + EBt1 * Bt2 = 0 + 0 = 0 协方差矩阵 Cov[X(t1), X(t2)] 由以下元素组成： Cov[X(t1), X(t1)] = DXt1 = 1 Cov[X(t1), X(t2)] = Cov[X(t2), X(t1)] = DBt1 * DA + DBt2 * DA = 0 + 0 = 0 Cov[X(t1), Xt] = Cov[X(t), X(t2)] = DBt1 * ABt + DBt2 * AAt = 0 + 0 = 0 Cov[X(t), Xt] = DXt * (t1 + t2) = (1 + t1^2) * (t1 + t2) 因此，二维分布的协方差矩阵表示为： ⎡ ⎣ DXt1 0 0 DXt2 ⎦ =⎣ 1 0 0 1 + t2^2 ⎦ 总结起来，这道习题展示了如何通过高斯分布的性质来计算随机过程的一维和二维分布，特别是当随机过程是高斯随机变量线性组合时，其概率密度函数的形式和参数可以直接确定。这对于理解和应用随机过程理论以及在实际问题中的建模非常关键。