随机过程与排队论习题解析:高斯分布应用
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"随机过程与排队论习题答案——研究生课程相关,由何选森编写的教材习题解答"
在随机过程和排队论的学习中,掌握随机变量的性质和高斯分布尤为重要。本资料涉及的是一个具体的随机过程模型,即X(t)=A+Bt,其中A和B是相互独立的随机变量,且它们都服从标准高斯分布(即正态分布N(0,1))。解题的关键在于理解高斯随机变量的线性组合仍为高斯分布。
首先,解题者指出X(t)是A和B的线性组合,因此X(t)同样服从高斯分布。接着,利用A和B的均值(0)和方差(1),可以计算出X(t)的均值和方差。X(t)的均值EX(t) = EA + EBt = 0 + 0t = 0,方差DX(t) = DA + DBt^2 = 1 + t^2。由此得出X(t)服从均值为0,方差为1+t^2的高斯分布,即X(t) ∼ N(0,1+t^2)。
一维分布的密度函数可以通过高斯分布的标准形式给出。对于X(t),其概率密度函数f(x,t)可表示为:
f(x,t) = (1/(σ√2π)) * exp(-((x - μ)/σ)^2 / 2),其中μ = EX(t) = 0,σ^2 = DX(t) = 1 + t^2。
接下来,题目考虑了两个不同时刻t1和t2的二维分布。X(t1) = A + Bt1,X(t2) = A + Bt2。因为A和B独立,所以[X(t1), X(t2)]构成一个二维高斯随机矢量。根据二维高斯分布的性质,我们可以计算其数学期望矢量m和协方差矩阵Cov。
数学期望矢量m = [EX(t1), EX(t2)]^T = [0, 0]^T,协方差矩阵Cov[X(t1), X(t2)] = [[DX(t1), Cov(X(t1), X(t2))], [Cov(X(t1), X(t2)), DX(t2)]]。由于A和B独立,Cov(X(t1), X(t2)) = 0。
具体计算协方差矩阵的元素:
Cov(X(t1), X(t2)) = E[(X(t1) - EX(t1))(X(t2) - EX(t2))] = E[(A + Bt1 - 0)(A + Bt2 - 0)] = E[AB(t1t2)] = 0,因为A和B独立,其乘积的期望为0。
DX(t1) = 1 + t1^2,DX(t2) = 1 + t2^2。
所以,协方差矩阵为:
Cov =
| 1 + t1^2 0 |
| 0 1 + t2^2 |
这表明X(t)=[X(t1), X(t2)]^T的二维分布是数学期望为(0,0)^T,协方差矩阵如上所示的二维高斯分布。
总结来说,这个习题主要涵盖了以下知识点:
1. 高斯分布的性质:线性组合依然服从高斯分布。
2. 一维高斯分布的计算:均值和方差的求解以及概率密度函数的表达。
3. 二维高斯分布的性质:独立随机变量的线性组合构成二维高斯分布,协方差矩阵的计算。
通过解决这类问题,学生能深入理解随机过程的基础概念,为理解和应用排队论中的随机模型打下坚实基础。
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