随机过程与排队论习题解析：高斯分布应用

"随机过程与排队论习题答案——研究生课程相关，由何选森编写的教材习题解答" 在随机过程和排队论的学习中，掌握随机变量的性质和高斯分布尤为重要。本资料涉及的是一个具体的随机过程模型，即X(t)=A+Bt，其中A和B是相互独立的随机变量，且它们都服从标准高斯分布（即正态分布N(0,1)）。解题的关键在于理解高斯随机变量的线性组合仍为高斯分布。 首先，解题者指出X(t)是A和B的线性组合，因此X(t)同样服从高斯分布。接着，利用A和B的均值（0）和方差（1），可以计算出X(t)的均值和方差。X(t)的均值EX(t) = EA + EBt = 0 + 0t = 0，方差DX(t) = DA + DBt^2 = 1 + t^2。由此得出X(t)服从均值为0，方差为1+t^2的高斯分布，即X(t) ∼ N(0,1+t^2)。 一维分布的密度函数可以通过高斯分布的标准形式给出。对于X(t)，其概率密度函数f(x,t)可表示为： f(x,t) = (1/(σ√2π)) * exp(-((x - μ)/σ)^2 / 2)，其中μ = EX(t) = 0，σ^2 = DX(t) = 1 + t^2。 接下来，题目考虑了两个不同时刻t1和t2的二维分布。X(t1) = A + Bt1，X(t2) = A + Bt2。因为A和B独立，所以[X(t1), X(t2)]构成一个二维高斯随机矢量。根据二维高斯分布的性质，我们可以计算其数学期望矢量m和协方差矩阵Cov。 数学期望矢量m = [EX(t1), EX(t2)]^T = [0, 0]^T，协方差矩阵Cov[X(t1), X(t2)] = [[DX(t1), Cov(X(t1), X(t2))], [Cov(X(t1), X(t2)), DX(t2)]]。由于A和B独立，Cov(X(t1), X(t2)) = 0。 具体计算协方差矩阵的元素： Cov(X(t1), X(t2)) = E[(X(t1) - EX(t1))(X(t2) - EX(t2))] = E[(A + Bt1 - 0)(A + Bt2 - 0)] = E[AB(t1t2)] = 0，因为A和B独立，其乘积的期望为0。 DX(t1) = 1 + t1^2，DX(t2) = 1 + t2^2。 所以，协方差矩阵为： Cov = | 1 + t1^2 0 | | 0 1 + t2^2 | 这表明X(t)=[X(t1), X(t2)]^T的二维分布是数学期望为(0,0)^T，协方差矩阵如上所示的二维高斯分布。 总结来说，这个习题主要涵盖了以下知识点： 1. 高斯分布的性质：线性组合依然服从高斯分布。 2. 一维高斯分布的计算：均值和方差的求解以及概率密度函数的表达。 3. 二维高斯分布的性质：独立随机变量的线性组合构成二维高斯分布，协方差矩阵的计算。 通过解决这类问题，学生能深入理解随机过程的基础概念，为理解和应用排队论中的随机模型打下坚实基础。