紧致仿射Kahler流形的变分问题与欧氏完备性

"这篇硕士学位论文主要探讨了仿射Kahler流形的一类变分问题，作者是杨宝莹，由李安民和赵国松教授指导，属于四川大学数学学院基础数学专业微分几何方向的研究。论文的核心内容是关于紧致仿射Kahler流形在特定条件下的几何特性及其在变分问题中的应用。" 正文: 仿射Kahler流形是微分几何中的一个重要概念，它结合了仿射几何和复几何的特性。在这样的流形中，存在一个仿射联络使得复结构与联络兼容，即保持复结构的平行性。这类流形在物理学和数学的多个领域，如规范理论和代数几何，都有重要的应用。 论文的焦点在于研究当仿射Kahler流形(M, g)的Kahler度量g表示为fij dxidxj形式，并且满足特定条件时，流形的几何性质。这里，fij是度量张量的分量，dxidxj是局部坐标下的基底。论文提出，如果该流形的Ricci曲率为非负，且满足拉普拉斯算子作用于度量的行列式log(det(fij))的结果为零（即△log(det(fij)) = 0），那么流形M必须是实数空间R^n的一个商空间，商于一个在R^n上自由、逆紧且不连续作用的离散等距子群F。 这一结果揭示了Ricci曲率半正定性和拉普拉斯算子条件对于仿射Kahler流形的拓扑结构的深刻影响。这不仅是对几何结构的深入理解，也为解决变分问题提供了新的视角。 进一步，论文扩展到更一般的变分问题，引入了一个光滑函数h。考虑基于这个函数的体积变分问题，对应的Euler-Lagrange方程为Alog(det(fij)) = h(det(fo-))。通过解决与这个四阶偏微分方程相关的边界问题，可以构造出满足特定二阶方程组的欧氏完备仿射Kahler流形，这些流形定义在整个流形M上。 这个工作不仅深化了我们对仿射Kahler流形的理解，还展示了如何通过变分方法来构建具有特定几何特性的流形。这对理论数学和应用数学的研究都有深远的意义，特别是在几何分析和代数几何领域，可能为寻找新的几何不变量或构造新的几何模型提供工具。 关键词: 仿射Kahler流形，欧氏完备，Ricci曲率，变分问题，Euler-Lagrange方程，边界问题。