XorSum5题解：多项式方法与动态规划应用

XorSum5题解概述 XorSum5是一个涉及异或运算和求和问题的编程挑战，通常出现在AtCoder平台的ARC156竞赛中。题目要求解决的是如何利用多项式和生成函数的思想来分析和求解特定模式下的异或和。核心知识点在于理解异或的性质以及如何将其转换为求和问题。 1. 多项式表示法： 官方题解引入了多项式的方法，利用多项式 (1) 的展开式，其中某一项的次数代表数字中的某个子集的个数，系数则表示子集中元素的奇偶性。通过展开多项式，问题被转换为寻找特定模意义下的分拆组合。 2. 异或与二进制分解： 二进制分解是解决此类问题的关键桥梁。例如，将一个数分解为二进制形式，可以帮助理解异或运算的规律。如在某测试用例中，通过二进制分解，可以推断出某些位上的异或和求和关系。 3. 动态规划求解： 题目涉及到动态规划，定义的状态是具有特定异或奇偶性的组数。动态规划的状态转移函数定义了如何从较小的子问题（dp[i]）构建更大的问题（dp[j]），这里涉及到背包问题的思路。状态转移公式为 dp[j] = dp[j - a] + dp[j - b] - dp[j - a - b]，并且可以使用前缀和优化算法提升效率。 4. 求解策略： 当计算出dp table后，问题的核心是计算每个位置上满足特定异或条件的组合数。这需要分解为两个问题：(3) 求在比特位上为指定值的组合数，以及 (4) 去除特定位的影响后剩余位的组合数。进一步，(5) 问题转化为从一组特定的正整数中选择能够形成所需异或结果的组合数量。 5. 最终答案： 根据这些问题的解答，计算最终答案时，要考虑不同区间内异或值的贡献，并且利用(5)问题的解决方案来确定每一段位的组合计数。 总结来说，XorSum5的解题关键在于巧妙地运用多项式理论、二进制分解以及动态规划技巧，将异或和求和问题转化为一系列关于组合数的数学问题。理解并应用这些方法，能够有效地解决这类题目。