一维非线性双曲守恒律方程的自适应RKDG方法

"这篇论文详细探讨了一种应用于一维非线性双曲守恒律方程的自适应间断Galerkin方法，特别是在Runge-Kutta框架下的实现。该方法结合了h型自适应策略，旨在高效处理具有间断特征的问题，如空气动力学中的激波。通过这种方法，不仅能够精确捕捉间断的位置，还能通过在间断附近动态调整网格密度提高计算效率。论文通过数值实验验证了该算法的效能，展示了其在处理双曲守恒律方程中的优势。" 本文的研究焦点是非线性双曲守恒律方程，这类方程在工程领域，特别是空气动力学中的激波问题中扮演着核心角色。作者们在Runge-Kutta间断Galerkin（RKDG）方法的基础上，结合h型自适应技术，设计了一种新的数值求解策略。Runge-Kutta方法是经典的数值积分方法，而间断Galerkin方法（DG）则是一种灵活且强大的有限元方法，尤其适合处理含有间断或强烈对流的问题。 DG方法的主要优点在于其结合了迎风类方法的特性，能够有效处理对流主导的难题和间断现象。同时，由于其采用紧凑的单元模板，并允许自由分配元素节点和自由度，因此在非结构网格上实现高阶精度变得更加便捷，有利于并行计算和自适应网格细化。1976年，LeSaint和Raviart首次为线性双曲问题的DG方法提供了误差估计，奠定了DG方法的理论基础。 在本文中，作者进一步扩展了这一理论，通过h型自适应方法，使计算网格能够在需要时局部加密，特别是在间断附近，以提高计算精度。这有助于减少不必要的计算负担，提升整体计算效率。通过数值实验，他们证明了该算法在处理一维非线性守恒律方程初值和初边值问题时的准确性和效率。 这篇论文在解决双曲型守恒律方程的数值模拟上提出了一个创新且高效的策略，对于理解和应用这类方程在实际工程问题中的解决方案具有重要意义。结合h型自适应的RKDG方法为处理复杂的物理现象提供了一个强大的工具，有助于推动相关领域的科学研究和技术发展。