"线性代数2-31：逆矩阵的定义与可逆条件"

"线性代数2-31"归纳到第一章§ 2.32.3可逆矩阵一、逆矩阵的定义及可逆的充要条件定义2.9:设 A 是 n 阶方阵，则称 n 阶矩阵 B 是 A 的逆矩阵，如果 AB=BA=In，式中In 为 n 阶单位矩阵。可逆矩阵一、逆矩阵的 逆矩阵的定义及可逆的充要条件定义2.9:设 A 是 n 阶方阵，则称 n 阶矩阵 B 是 A 的逆矩阵，如果 AB=BA=In，式中In 为 n 阶单位矩阵。可逆矩阵的充要条件定理2.9.2：设 A 是 n 阶方阵，则以下命题等价。A 是可逆矩阵。 A 的行列式det(A)≠ 过零元素。A 的秩rank(A) =n。A 的零空间N(A)={0}A 的列空间C(A) =ℝnA 的行空间R(A) =ℝnA 的所有列向量组成的点阵是线性无关的。 证明由定义2.9不难证明B是唯一的。它称为A的逆矩阵，记作B=A−1。易知若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵也是可逆矩阵，并且(A−1)−1=A。我们把n阶方阵A可逆、即满足式(2.9.1)或(2.9.2)的方阵A称为非奇异。 定理2.9.3：一个n阶方阵A是可逆矩阵的充分必要条件是A的行向量（列向量）线性无关。 证明。充分性：因为行向量线性无关，所以它们是一个基。那么A的行向量是这个基的一个线性组合。可以证明这个线性组合的系数矩阵非奇异，从而这个方程有唯一解，即对于单位基来说，这个线性组合恰是I单位矩阵的解。必要性：若A是可逆矩阵，那么可以求出A的逆矩阵C，满足AC=In，对坐标矢量e1,e2,⋯,en，左乘C有e1C,e2C,⋯,enC，它们是n个向量的线性组合，因为AC=In，故等式右侧的向量e1,e2,⋯,en可由e1C,e2C,⋯,enC线性表示，且这个表示是唯一的，故A的列向量线性无关。显然，A的列线性无关蕴涵A的行线性无关。因此A行(列)线性无关是A可逆的充要条件。 习题·设A,B是n阶可逆方阵，且(AB)−1=A−1B−1。 证明：由(A−1B−1)(AB) =A−1(IB)=A−1B−1，故(AB)−1是(A−1B−1)的逆。这说明AB可逆且(AB)−1=A−1B−1。 总结：通过学习本节内容，我们深入了解了可逆矩阵及其性质，掌握了判定一个方阵是否可逆的充要条件，以及关于可逆矩阵的逆矩阵的定义和性质。对逆矩阵有了更加具体和深入的理解，这对于矩阵运算和方程求解是非常有帮助的。在实际问题中，可以根据逆矩阵的相关性质，对矩阵进行转置、求逆等操作，进而解决实际问题。同时，逆矩阵也是线性代数中的一个重要内容，对于理解和应用线性代数具有重要意义。