模n剩余类环零因子图补图的类数全解析

本文主要探讨了模n剩余类环Z_n的零因子图补图的类数问题。零因子图是数学中的一个重要概念，它在数论和图论中有广泛的应用，特别是在环论中研究元素间的相互关系。在这里，作者苏华东、黄青鹤和张桂宁针对Z_n这个特定的数学结构，研究了其零因子图的补图，即所有不包含零因子边的子图。 零因子图的补图是指零因子图中除了原有边（表示两个元素相乘的结果为零的边）之外的所有可能边的集合所构成的图。论文的关键在于通过分析n的素因子个数，利用完全图和完全二部图的类数公式，这些图的类数被定义为将它们嵌入到平面中所需的最小交叉次数，来确定零因子图补图的最小可能类数。作者运用了相关的下界公式和嵌入技巧，证明了当模n剩余类环Z_n的零因子图补图的类数不超过5时，n的取值特别有限，具体包括6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 27, 33, 35, 55, 77, P2，其中P为素数。此外，他们还细致地分类了Z_n零因子图补图的类数，分别对应于0, 1, 2, 3, 4, 5这六种可能的情况。 这项研究不仅提供了关于模n剩余类环零因子图补图结构的深入理解，而且对于数值分析、密码学、代数几何等领域具有潜在的实际应用价值。通过解决这个问题，作者揭示了模n剩余类环中特定图论性质与整数分解之间的联系，从而丰富了数论中的图形理论工具箱。这篇论文是一项严谨的数学探索，有助于推进数论领域中复杂网络结构的理论研究。