Matlab车辆轨迹跟踪LQR控制算法实现

资源摘要信息:"本文档是一份介绍如何利用Matlab实现基于线性二次调节器（Linear Quadratic Regulator，LQR）的车辆轨迹跟踪控制系统的详细指南。以下是对文件中提到的关键知识点的详细解释。 1. 控制误差微分方程建立 在进行车辆轨迹跟踪时，首先需要建立一个控制误差微分方程，这是为了描述车辆跟踪轨迹时的误差动态。该方程通常形式如下： $\dot{e_{rr}}=Ae_{rr}+Bu$ 其中，$e_{rr}$表示跟踪误差向量，$A$和$B$分别是系统动态矩阵和控制输入矩阵。$\dot{e_{rr}}$表示误差的导数，也就是误差变化率，而$u$则代表控制输入向量。 2. 离散化处理 在计算机实现中，连续系统需要被转换为离散系统进行处理。离散化后的方程形式如下： $e_{rr(k+1)}=\bar{A}e_{rr(k)}+\bar{B}u_{(k)}$ 这里，$e_{rr(k)}$和$e_{rr(k+1)}$分别代表第k次和第k+1次的误差状态，$\bar{A}$和$\bar{B}$是离散化后的系统矩阵和输入矩阵。离散化处理通常涉及将连续时间动态方程转换为等价的离散时间动态方程，以便在数字系统中应用。 3. 迭代求解Riccati方程 为了设计LQR控制器，需要迭代求解Riccati方程来找到最优状态反馈增益矩阵K。Riccati方程是一种特殊的矩阵方程，它在这里的形式为： $P_{k+1} = Q+\bar{A}^TP_{k}\bar{A}-\bar{A}^TP_{k}\bar{B}(R+\bar{B}^TP_{k}\bar{B})^{-1}\bar{B}^TP_{k}\bar{A}$ 其中，$P_k$是迭代计算得到的半正定矩阵，$Q$和$R$分别代表状态和输入的权重矩阵，用于衡量状态和控制输入的重要性和代价。Riccati方程的求解是LQR设计中的核心步骤，因为它的解决定了最优控制律。 4. LQR最优控制律计算 LQR控制器的最终目标是找到一个最优控制律，使得系统的性能指标达到最优。性能指标通常由下面的形式给出： $J = \int_{0}^{\infty} (e_{rr}^TQe_{rr} + u^TRu)dt$ 其中，$J$是最小化的目标函数。对于离散系统，最优控制律$u_k$可以通过求解得到的Riccati方程来计算： $K=(R+\bar{B}^TP\bar{B})^{-1}\bar{B}^TP\bar{A}$ $u_k=-Ke_{rr(k)}$ 这里，$K$是状态反馈增益矩阵，$u_k$是当前控制输入。通过应用这个控制律，可以使得车辆跟随预定轨迹以最优的方式进行调整。 在Matlab环境下，可以使用内置函数如`lqr`或手动编写迭代算法来求解上述方程。一旦求得最优增益矩阵K，就可以将之应用于车辆控制算法中，实现高效的轨迹跟踪。" 关键词：Matlab, LQR, 车辆轨迹跟踪, 离散化, Riccati方程, 状态反馈增益矩阵, 最优控制律