树状数组：高效求解前缀和与单点修改

"本资料介绍了树状数组（也称作线段树）这一数据结构，它是解决动态维护序列前缀和问题的有效方法。树状数组能实现单点修改和区间求和操作的高效算法，时间复杂度为O(logn)，尤其适用于大数据量的场景。文档通过福建教育出版社的网站发布，属于CSP-S NOIP信奥竞赛相关的学习材料。" 树状数组是一种用于高效处理动态序列前缀和问题的数据结构。在传统的前缀和计算中，每次修改序列中的一个元素，都需要重新计算整个序列的前缀和，这在序列长度n很大时会导致效率低下。为了解决这个问题，树状数组应运而生。 树状数组的基本思想是将序列的每个位置与一系列二进制分解后的区间关联。例如，对于一个正整数x，可以将其分解为2的幂次的和：x = 2^i1 + 2^i2 + ... + 2^im，其中i1 > i2 > ... > im。基于这个分解，序列[1, x]可以被划分为O(logx)个小区间，每个小区间的长度为2^i1, 2^i2, ..., 2^im。这样的划分允许我们在修改序列中的一个元素时，仅需更新它所在的小区间，从而减少计算量。 例如，数字10101（二进制）在十进制中等于21，它可以分解为2^4 + 2^2 + 2^0。因此，序列[1, 21]可以被划分为长度为2^4, 2^2, 和2^0的三个小区间。这样，当我们需要修改序列中的某个元素时，只需要更新它所在小区间的前缀和，而无需对整个序列进行操作。 在树状数组中，每个节点存储的是对应区间（或小区间）的前缀和。通过二进制逆序扫描，我们可以快速地进行单点修改和区间求和。例如，C[i]表示从位置i-2^k+1到位置i的元素之和，其中k是i在二进制表示中末尾0的个数。通过这样的设置，我们可以在O(logn)的时间内完成一次修改或查询操作，显著提高了效率。 在实际应用中，树状数组特别适合处理有大量修改和查询操作的情况，例如在竞赛编程或算法设计中。当面对n次修改和m次询问，且n和m都可能达到或超过10000时，使用树状数组可以避免暴力求解导致的超时问题，确保程序的高效运行。