线性代数同济四版习题解析

"这是一份线性代数（同济四版）的习题答案，由黄正华提供，包含了第一章至第五章的主要习题解答，重点推荐了部分习题进行深入研究。" 线性代数是数学的一个重要分支，它在计算机科学、工程学、物理学等多个领域都有广泛的应用。同济大学出版的线性代数教材以其清晰的讲解和丰富的习题深受学生和教师的喜爱。这份习题答案涵盖了行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性以及相似矩阵及二次型等核心内容。 1. **行列式**：行列式是矩阵的一种数值特性，可以用来判断矩阵是否可逆。题目中展示了如何利用对角线法则计算三阶行列式，例如第(1)题通过行列式的展开法则计算出结果为-4。第(2)题利用行列式的性质将其简化为3abc-a³-b³-c³。第(3)题的行列式可以通过因式分解得到(a-b)(b-c)(c-a)。第(4)题则涉及到了代数恒等式的应用。 2. **矩阵及其运算**：矩阵是线性代数的基础，包括加法、减法、标量乘法和矩阵乘法等运算。这部分习题可能涉及到矩阵的转置、逆矩阵、秩以及矩阵的性质等。 3. **矩阵的初等变换与线性方程组**：初等行变换是解线性方程组的有效工具，可以将系数矩阵转化为阶梯形或最简行阶梯形矩阵，从而简化求解过程。这部分习题可能要求通过初等变换求解线性方程组，或者判断线性方程组的解的情况。 4. **向量组的线性相关性**：向量组的线性相关性和线性无关性是理解线性空间和线性映射的关键。这部分习题可能涉及判断向量组是否线性相关，或者求向量组的极大无关组。 5. **相似矩阵及二次型**：相似矩阵有相同的特征值，可以用于分析矩阵的性质。二次型则是通过矩阵表示的二元或多元函数，通过配方法可以化为标准形式，进而讨论其性质。 学习线性代数不仅要掌握理论知识，更要通过大量的习题来锻炼计算能力和解决问题的能力。这份习题答案不仅提供了解题思路，也是检验自我学习效果的良好工具。对于遇到的难题，鼓励读者尝试多种解法，并与他人交流，提升自己的数学素养。