岳宇轩实验:二分法与牛顿公式迭代次数比较
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更新于2024-08-04
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本实验主要关注的是数值分析中的两种经典方法——二分法和牛顿公式,用于求解方程的根。实验的目的包括:
1. **实现牛顿公式**:学习并实践牛顿公式,理解其迭代过程,同时寻找收敛和发散的实例,这有助于学生深入理解算法的局限性和适用条件。
2. **比较迭代次数**:在相同精度(如误差不超过10^-3)和相同的条件下,比较二分法和牛顿公式在求解特定方程根时所需的迭代次数。这有助于评估这两种方法的效率,并观察它们在实际问题中的性能差异。
**实验原理概述**:
- **二分法**:当函数f(x)在[a, b]区间内单调且连续,且f(a)与f(b)异号时,二分法通过不断将区间缩小,逼近根的存在位置。每一步都将区间分成两半,直到区间长度足够小,从而获得根的近似值。
- **牛顿公式**:基于泰勒展开,假设方程f(x)=0在xk附近可用一阶近似线性化,形成新的方程p(x)=0,通过解这个线性方程得到下一个近似根xk+1。牛顿公式强调了局部收敛性,对于初始点的选择至关重要。
**实验步骤**:
1. 实现牛顿公式迭代函数,选择函数f(x)=5/6x^4-4x^3+23/6x^2+3x-17/3及其导数f'(x),并求解其零点,例如x=-1和x=3.2348365。
2. 分别从x0=4和x0=2开始,应用牛顿公式迭代,验证其收敛性,同时在误差范围内达到10^-3。
3. 对于相同的精度和初始条件,比较二分法和牛顿公式在求解方程f(x)=0的根3.2348365时所需的迭代次数。初始区间设为[2,4],牛顿迭代初始值设为4。
**代码实现**:
- 定义了全局变量,如最大迭代次数、初始精度和目标根的真值。
- 提供了f(x)和其导数f'(x)的定义,这些都是实现牛顿公式和二分法的关键部分。
本实验不仅要求学生掌握数值分析中的二分法和牛顿公式,还通过实际操作对比这两种方法,强化理论知识与实践能力的结合,从而深入理解数值求解方法的性能差异。
2022-08-08 上传
2022-08-03 上传
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