R语言实现灰色预测GM(1,1)模型详解

"灰色预测G(1,1)R语言代码" 灰色预测模型是一种适用于小样本、非线性、不完全信息的时间序列预测方法，由灰色系统理论提出。它通过构建一阶微分方程来揭示数据内在的发展规律，尤其适合处理具有明显趋势的数据。在R语言中实现灰色预测G(1,1)模型，主要涉及以下几个步骤： 1. 数据预处理：首先，我们需要对原始数据序列`x0`进行累计求和，生成`x1`，即一阶累加生成序列（1st Order Accumulation Generation）。 ```R x1 <- cumsum(x0) ``` 2. 中间值计算：然后，计算`x1`序列的平均值`b`，这一步用于构建微分方程。 ```R b <- numeric(length(x0) - 1) for (i in 1:(length(x0) - 1)) { b[i] <- (x1[i] + x1[i + 1]) / 2 } ``` 3. 构造微分方程：接下来，定义差分矩阵`D`，常数项为1，与中间值`b`组合成矩阵`B`，用于求解线性方程组。 ```R D <- numeric(length(x0) - 1) D[] <- 1 B <- cbind(b, D) BT <- t(B) ``` 4. 求解模型参数：利用最小二乘法求解模型参数`alpha`，包括常数项`a`和斜率`u`。 ```R YN <- numeric(length(x0) - 1) YN <- x0[2:length(x0)] alpha <- solve(BT %*% B) %*% BT %*% YN ``` 5. 预测过程：根据求得的参数`a`和`u`，计算预测序列`y`。 ```R y <- numeric(length(c(1:t))) y[1] <- x1[1] for (w in 1:(t - 1)) { y[w + 1] <- (x1[1] - u/a) * exp(-a * w) + u/a } ``` 6. 生成原序列：从预测序列`y`中恢复原始序列`x0`的估计值`xy`。 ```R xy <- numeric(length(y)) xy[1] <- y[1] for (o in 2:t) { xy[o] <- y[o] - y[o - 1] } ``` 7. 误差分析：计算残差`e`，以及相对误差`e2`。 ```R e <- numeric(length(x0)) for (l in 1:length(x0)) { e[l] <- x0[l] - xy[l] } e2 <- numeric(length(x0)) for (s in 1:length(x0)) { e2[s] <- (abs(e[s]) / x0[s]) } ``` 8. 评估模型：计算残差平方和（均方误差，MSE）、平均相对误差（MAPE）和预测精度（Accuracy）。 ```R cat("均方误差:", sum(e^2), "\n") cat("平均相对误差:", sum(e2) / (length(e2) - 1) * 100, "%", "\n") cat("预测精度:", (1 - (sum(e2) / (length(e2) - 1))) * 100, "%", "\n") ``` 通过上述R代码，我们可以得到灰色预测G(1,1)模型的预测结果以及对模型性能的评估。这种方法在实际应用中，如经济预测、股票市场预测、环境监测等领域都有广泛应用。由于其简单易用且效果良好，尤其在数据有限的情况下，是预测分析的一个有效工具。