使用动态规划解决钱币组合问题

"8595 钱币组合方法数的问题" 这道编程题是关于计算使用给定种类和数量的钱币组合成特定面值的方法数。问题中提到的时间限制是300毫秒，内存限制是1000K，语言无限制。输入包括四个部分：钱币种类数n，每种钱币的面值数组v，每种钱币的张数数组k，以及目标面值m。输出是组合成目标面值m的不同方法数。 在解决这个问题时，可以采用动态规划的方法。动态规划的核心思想是将问题分解为更小的子问题，并存储子问题的解以避免重复计算。在这个问题中，我们可以定义一个二维数组d[i][j]，其中d[i][j]表示使用前i种钱币组成面值j的方法数。 初始状态下，数组d的所有元素被清零。对于每种钱币i（1<=i<=n），我们遍历所有可能的面值j（1<=j<=m）。对于第一种钱币，如果面值j能被v[1]整除且不超过k[1]，那么d[1][j]为1，否则为0。对于后续的钱币，如果j小于v[i]，d[i][j]等于d[i-1][j]；否则，d[i][j]等于d[i-1][j]加上从d[i-1][j-v[i]]到d[i-1][j-k[i]*v[i]]的所有元素之和。 由于题目提示d[i][j]只与d[i-1][j]有关，所以实际上可以使用一维数组d[1...m]来优化空间。在给定的代码中，使用了一个递归函数`qianbizuhe`实现了这个过程。这个函数首先检查当前钱币是否可以完全使用，然后用一个循环遍历当前钱币可以使用的次数，对剩余的钱数递归调用函数，最终累加结果到`sum`变量中。 在主函数`main`中，读取输入的n、面值数组a、张数数组b以及目标面值m，然后调用`qianbizuhe`计算方法数，并输出结果。 这是一个典型的动态规划问题，通过利用已有的计算结果避免重复计算，有效地提高了算法的效率。在实际应用中，动态规划常用于解决组合优化问题，如背包问题、最短路径问题等。