4 无穷级数 16
Now suppose |z| > 1. Then
z
n−1
(1−z
n
)(1−z
n+1
)
=
1
z
n+2
(1−z
−n
)(1−z
−(n+1)
)
∼
1
z
n+2
. So
P
∞
n=1
z
n−1
(1−z
n
)(1−z
n+1
)
is absolutely convergent on |z| > 1. To nd the sum function in this case, note for |z| > 1,
∞
X
n=1
z
n−1
(1 − z
n
)(1 − z
n+1
=
∞
X
n=1
1
z
n+2
(1 − z
−n
)(1 − z
−(n+1)
)
=
∞
X
n=1
1
z
n+2
1
z − 1
z
1 − z
−n
−
1
1 − z
−(n+1)
=
1
z − 1
∞
X
n=1
z
−(n+1)
1 − z
−n
−
∞
X
n=1
z
−(n+2)
1 − z
−(n+1)
!
=
1
z − 1
z
−2
1 − z
−1
=
1
z(z − 1)
2
.
3. (1)
证明. Since for |z| > 1, |z|
n!
> |z| and
P
∞
n=1
|z| = ∞, the series is divergent on |z| > 1. Since for
|z| < 1, |z|
n!
< |z|
n
and
P
∞
n=1
|z|
n
< ∞, the series is convergent on |z| < 1.
(2)
证明. The series converges over
z
1+z
< 1. Solving the inequality
x+yi
1+x+yi
< 1 gives x > −
1
2
.
(3)
证明. |z
2
+ 2z + 2| < 1.
(4)
证明. Suppose z = x + yi. Then
sin z =
e
iz
− e
−iz
2i
=
1
2i
(e
−y+ix
− e
y−ix
) =
1
2i
e
ix
(e
−y
− e
y
) + e
y
(e
ix
− e
−ix
)
=
1
2i
e
ix
(e
−y
− e
y
) + e
y
sin x.
As z → 0, e
y
sin x ∼ x and
1
2i
e
ix
(e
−y
− e
y
) ∼
1
2i
(−2y) = yi. So
P
∞
n=1
2
n
1
2i
e
i
x
3
n
(e
−
y
3
n
− e
y
3
n
)
is
convergent if and only if
P
∞
n=1
2
n
y
3
n
i is convergent and
P
∞
n=1
2
n
e
y
3
n
sin
x
3
n
is convergent if and only
if
P
∞
n=1
2
n
x
3
n
is convergent. Since
P
∞
n=1
2
n
sin
z
3
n
=
P
∞
n=1
2
n
1
2i
e
i
y
3
n
(e
−
y
3
n
− e
y
3
n
) + e
y
3
n
sin
x
3
n
, and
since for arbitrary x, y ∈ R,
P
∞
n=1
2
3
n
yi and
P
∞
n=1
2
3
n
x both converge, we conclude ∀z ∈ C,
P
∞
n=1
2
n
sin
z
3
n
is convergent.
4.
证明. At z = 1, the sum is equal to
P
∞
n=0
1
n+1
−
2
2n+3
=
P
∞
n=0
2
2n+2
−
2
2n+3
= 2(−1 +
1
2
−
1
3
+
1
4
+ ··· + 1) = 2(1 − ln 2). For |z| < 1,
P
∞
n=0
z
n+1
n+1
=
P
∞
n=0
R
z
0
w
n
dw =
R
z
0
(
P
∞
n=0
w
n
)dw =
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