双变量同构凸函数理论：广泛平均值与几何解释

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"《论广泛平均值和双变量同构凸函数》是由刘渊撰写的首发论文，该研究论文将传统的凸函数理论、几何凸函数、平方凸函数等多个概念统一于双变量同构凸函数这一框架下。作者创新性地提出了一种双变量同构函数的概念，通过引入平面双同构直角坐标系，使得这些复杂的函数理论在几何意义上得到了直观的理解。双变量同构凸函数不仅适用于一元实变情况，还能扩展至高维度，形成多元全变量同构凸函数。论文的核心内容包括对双变量同构凸函数的微分判别法则（定理6）和詹森型不等式（定理8）的建立，这些都是对传统凸函数理论的重要补充。作者还探讨了广泛平均值的不同类型，如加权广泛平均值，展示了它们之间不等关系的判别法则，这对于理解和比较各种平均数的性质具有重要意义。论文还涉及了函数的广泛平均值，这是一个强大的工具，它能够统括几何平均值、幂积分平均值等特殊形式，而且，通过不同类型广泛平均值的分析，可以导出众多新的函数特性。此外，双变量同构函数的理论不仅仅局限于凸函数领域，还可以应用于其他领域，比如函数的双变量同构平均值及其特殊形式。这篇论文对于深化对凸函数理论的理解，推动平均值理论的发展，以及在多变量情况下进行更深入的数学分析具有重要的理论价值。通过双变量同构函数的理论，作者提供了一个统一且强大的工具，使得复杂函数的研究变得更加直观和系统化。"

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- 8 -

总之，对于 p≠0，x

∈(0, +∞)：若 p>1，则当 x

≥

-1 时，

xx || ≥ ，当 0<x

≤p-1 时

xx || ≤ ；若

≤1，则

xx || ≥ 。

(6) 设 g(x)=x，h(x)=kx+b，k≠0。

bkxbkx

x |

...

)(...)(

=−

++++

限于篇幅，只列举这 6 例。笔者将关于 sinx 的广泛平均值也与常见平均值运用法则作了

比较，综合以后可以画一个直观的图示来表示在[-π/2, π/2]的不同子区间上五类不同的广泛平

均值间的不等关系，如图 1。由于此图非函数图像，故某些曲线的增减只是为了表示直观映

像，并无函数值增减的意义。需要说明的是：当 x

<-2 时（直观图中未包含），

xx ||

)0(/1

≤

。

2 同构量、双变量同构函数、平面双同构直角坐标系系统

2.1 同构量

定义(2) 设集合 X

、

U ⊆ R，有从 X 到 U 的严格单调的双射 g:X→U，定义域为 X，值

域为 U，g 的反函数为 g

-1

。对于 x

∈X，u

=g(x

)∈U 称为 x

的关于映射 g 的同构量，或特

征决定量。

■

定理(3) 设 u

、u

分别是 x

、x

的关于映射 g 的同构量，若 x

，则当 g 严格增时

；当 g 严格减时 u

。反之若 u

，则当 g 严格增时 x

，g 严格减时 x

。■证

明略。

某一变量 x 和它的同构量或特征决定量 u 代表了对于客体的某一性质的可以等价转换的

两种不同度量方法。例如不同的度量衡、物体导电性的电阻-电导的度量方法、经济量的绝

对增量和相对增量等，这些不同的度量方法产生的原因来自于我们不同的习惯、方便性、考

察角度等因素。以下是运用同构量对加权广泛平均值的定义。

定义(3) n 个实数 x

，

…

，

（n≥2）关于映射 g 的相应 n 个同构量在绝对权数分

别为 f

，f

，…，f

时（或在相对权数分别为 p

，p

，…

，

时）的加权算术平均值如果存在

于 g 的值域，则它取反函数 g

-1

所得的值，称为这 n 个数在绝对权数分别为 f

，f

，…，f

时

（或在相对权数分别为 p

，p

，…，p

时）的关于映射 g 的加权广泛平均值，或加权同构平

均值。

■

2.2 双变量同构函数

2.2.1 定义

定义(4) 设数集 X、U、Y、V ⊆ R，有从 X 到 U 的严格单调的双射 g:X→U，定义域为

X，值域为 U，g 的反函数为 g

-1

；有从 Y 到 V 的严格单调的双射 h:Y→U，定义域为 Y，值域

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为 V，h 的反函数为 h

-1

。设函数 y=f(x)，定义域 D ⊆X，值域 M ⊆Y，则对于集合 E={u: u=g(x),

x∈D}中的每一个数 u，在 V 内必有唯一的 v=h{f[g

-1

(u)]}与之对应。把定义在 E={u: u=g(x),

x∈D}上的函数 v=φ(u)=h{f[g

-1

(u)]}称为函数 f(x)关于映射 g 和 h 的双变量同构函数，简称双

同构函数。g、h 分别称为 φ(u)的自变量相关映射、应变量相关映射，u=g(x)称为 x 的同构自

变量，v=h(y)称为 y 的同构应变量。φ(u)的定义域 E

⊆ U 称为 f(x)关于映射 g 的同构定义域，

φ(u)的值域令为 N，N ⊆ V，称为 f(x)关于映射 h 的同构值域。■

函数 v=φ(u)的自变量 u 和应变量 v 分别是 f(x)的自变量 x 关于映射 g 和应变量 y 关于映

射 h 的同构量，所以称之为“双变量同构”。称法中的映射 g 和 h 的次序不可颠倒。

2.2.2 双变量同构函数的特殊情形

设函数 v=φ(u)=h{f[g

-1

(u)]是函数 f(x)（定义域 D，值域为 M）关于映射 g、h 的双同构函

数。则可有以下几种特例：

(1) 若不考虑映射 g 和 h，或认为当 g(x)=x（x∈R）且 h(y)=y（y∈

）时，v=φ(u)=h{f[g

-1

(u)]

等价于 y=f(x)，定义域都为 D，值域都为 M。也即函数 f(x)是它本身的一个特殊的双

同构函数。

(2) 若不考虑映射 g，或认为当 g(x)=x（x∈R）时，函数 v= h[f(u)] (=h[f(x)])称为函数 f(x)

关于映射 h 的应变量同构函数，定义域为 E=D。

(3) 若不考虑映射 h，或认为当 h(y)=y（y∈R）时，函数 v(=y)= f[g

-1

(u)]称为函数 f(x)关

于映射 g 的自变量同构函数，定义域为 E={u: u=g(x), x∈D}，其值域 N=M。

(4) 当 Y=X，h=g 时，函数 v= g{f[g

-1

(u)]称为 f(x)关于映射 g 的同映射双变量同构函数；

而在一般情况下 h≠g 时 v=φ(u)=h{f[g

-1

(u)]可特称为异映射双变量同构函数。

2.2.3 双变量同构原函数

设函数 f(x)（定义域 D，值域为 M）关于映射 g、h 的双变量同构函数是 v=φ(u)=h{f[g

-1

(u)]

（ u∈E={u: u=g(x), x∈D}），则 f(x)称为 φ(u)的关于映射 g、h 的双变量同构原函数。f(x)

可以表示为 f(x)= h

-1

{φ[g (x)]} （ x∈{x:x=g

-1

(u), u∈E}）。显然，f(x)是 φ(u)关于映射 g

-1

、

-1

的双变量同构函数。可见双变量同构函数与双变量同构原函数之间的关系是相对的。

2.3 广泛数轴和广泛数轴系统

2.3.1 广泛数轴

定义(5) 设数集 X、U ⊆R，有从 X 到 U 的严格单调的双射 g: X→U，定义域为 X，值

域为 U。则对于一普通实数轴作如下改动 — 将该数轴的 0 点改标为“α”；将该数轴上所有

满足 u∈U 的点 u，改标为 g

-1

(u)，其余所有点去除实数标志，即不代表任何实数；当 g 严格

增时，保持该数轴的方向箭头向右，当 g 严格减时倒反该数轴的方向箭头为向左，并在该箭

头下方标上“：g(x)” — 后所得的特殊数轴，称为一个关于映射 g: X→U 的广泛数轴。该数

轴上所有由 u∈U 改标 g

-1

(u)的点构成的集合也即 X 称为该数轴的有效区（若 0∈U，则

α=g

-1

(0)∈X，否则 α 只起标志作用）。■

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