NOIP算法精粹：数论算法与素数判断

"本文主要介绍了备战NOIP(全国青少年信息学奥林匹克联赛)所需掌握的算法，包括数论算法中的最大公约数、最小公倍数计算，以及素数判断的方法。" 在信息学竞赛中，算法是解决问题的关键。NOIP作为一项重要的竞赛，参赛者需要对各种算法有深入理解和熟练应用。以下是对描述中提及的算法的详细解释： 1. **最大公约数(Greatest Common Divisor, GCD)**: - 给定两个整数`a`和`b`，可以使用欧几里得算法来求它们的最大公约数。如描述中所示，如果`b`等于0，则`a`是GCD；否则，递归地调用`gcd(b, a mod b)`。这种方法基于一个事实：两个整数的最大公约数与其中较小的数和两数相除余数的最大公约数相同。 2. **最小公倍数(Lowest Common Multiple, LCM)**: - 最小公倍数可以通过两个数的乘积除以它们的最大公约数得到。在描述中，首先检查`a`是否小于`b`，如果小于则交换它们，然后用`a`不断加`b`，直到加的和能被`b`整除。这样得到的结果就是`a`和`b`的最小公倍数。 3. **素数判断**: - A. 对于小范围内的数，可以使用简单的遍历法判断。例如，对于整数`n`，从2到其平方根的整数部分遍历，如果`n`能被其中任何数整除，则不是素数，否则是素数。 - B. 在更大的范围内，如判断`longint`类型的数，可以使用埃拉托斯特尼筛法。首先假设所有数字都是素数，然后从2开始，将所有2的倍数标记为非素数，接着处理下一个未被标记的数（下一个素数），将其所有倍数标记。重复此过程直到达到目标范围。描述中展示了如何创建一个素数表，用于快速判断特定数值是否为素数。 这些算法是信息学竞赛的基础，特别是对于解决数论问题和优化计算效率至关重要。通过熟练掌握这些算法，参赛者可以更有效地解决问题，并在NOIP等竞赛中取得好成绩。在准备过程中，可以访问中华信息学竞赛网和中华圣才学习网获取更多复习资料，提升算法技能。