洛谷P3384树链剖分模板详解与C++实现

本篇笔记主要围绕数据结构中的树链剖分（也称为重链剖分）进行深入讲解。树链剖分是一种将一棵树分解成若干个连续的子树的算法，用于高效地支持查询和修改树中特定路径上的节点值。该技术常用于动态规划和在线问题的解决方案中。 首先，我们了解到题目涉及的是一个包含N个节点的树，每个节点都有一个数值。操作包括： 1. `1xyz`：沿着从节点x到y的最短路径，更新路径上所有节点的值。 2. `2xy`：计算从节点x到y的最短路径上所有节点值的总和。 3. `3xz`：在以节点x为根的子树内，将所有节点值增加z。 4. `4x`：求以节点x为根的子树内所有节点值的总和。 算法的核心是采用两个深度优先搜索（DFS）函数： - `dfs1(u, fat)`：计算每个节点的子树大小、重儿子下标、父节点和深度，构建了预处理数据结构。 - `dfs2(u, t)`：记录dfs序列的时间戳，以及每个重链的链头元素，通过`top`数组和`idx`数组来管理这些信息。 这两个函数分别用于获取节点的子树规模、重儿子关系，以及维护dfs序列，这对于后续的区间修改操作（如`modify`函数）至关重要。`modify`函数利用了线段树的数据结构，能够快速在路径上进行修改和查询，其时间复杂度相对较低。 当遇到路径查询时，算法会根据`top`数组跟踪路径的层次，确保在递归过程中始终处于正确的位置。如果路径不连续，函数会根据节点深度决定是在前半部分还是后半部分进行修改，最后确保在同一条链上的节点同时更新。 理解并掌握树链剖分的关键在于预处理阶段的数据结构设计和维护，以及如何利用这些数据结构进行高效的操作。这种技巧在处理动态问题和优化查询性能时非常有用，不仅适用于此题目的具体场景，也可应用于其他类似的问题，如图论中的路径查询和修改任务。