小波变换的提升实现：Mallat算法与边界处理

"本资源是清华大学计算机系孙延奎教授关于小波变换的第四章讲稿，主要讨论了小波变换的实现技术，包括Mallat算法、多孔算法以及小波变换的提升实现。" 小波变换是一种信号分析工具，能够同时在时间和频率域上提供局部化的分析，广泛应用于图像压缩、信号处理等领域。本讲稿重点介绍了小波变换的几种实现方法。 首先，Mallat算法是小波分解的基础，通过级联结构的滤波器实现。该算法通过两次滤波（分析滤波器h和g）和下采样过程，将信号分解为细节信息d和近似信息a。在实际应用中，由于信号边缘可能会导致处理问题，因此需要采用不同的边界延拓方法，如零延拓、周期延拓、周期对称延拓法和光滑常数延拓法。这些方法用于处理数据不足或超出原始范围的情况，以保持信号的连续性和准确性。 接着，多孔算法是一种简化版的小波变换实现，它减少了计算量，适用于实时处理和硬件实现。然而，讲稿没有详细展开这部分内容。 然后，讲稿提到了小波变换的提升实现。提升框架是一种更为高效的小波变换方法，它通过一系列简单的操作（预测和更新步骤）来构造小波系数。相比于传统的滤波器组方法，提升实现通常可以提供更低的计算复杂度和更高的数值稳定性。在MATLAB中，可以使用`dwt`函数进行小波分解，`idwt`函数进行重构，这两个函数支持不同的边界处理模式。 在MATLAB的`dwt`函数中，输入参数包括原始信号X、低通滤波器Lo_D和高通滤波器Hi_D，以及可选的边界处理模式MODE。函数返回近似系数cA和细节系数cD。对于不同类型的边界处理，返回的系数长度会有所不同。而`idwt`函数则用于从小波系数恢复原始信号，同样接受相应的滤波器和边界处理模式。 这份讲稿深入探讨了小波变换在实际应用中的关键算法和实现细节，对于理解和掌握小波变换的计算方法有着重要的指导价值。无论是理论研究还是工程实践，这些内容都是必不可少的基础知识。