多元统计：因子与主成分分析在公共事业评价中的应用

本实验报告主要探讨了在《多元统计分析》课程中对例题数据进行主成分分析和因子分析的方法。实验目标是通过这两种统计工具来处理高维、多变量的数据，并将其简化为低维度的形式，以便于理解和分析。 因子分析是一种重要的统计技术，其核心思想是通过发现数据中变量之间的内在关联，将原始的p个指标通过线性组合转化为m个公共因子，这些因子能解释原始数据的主要变异。在实验中，假设我们有n个样本和p个指标，每个指标X1到Xp经过标准化处理，其数学模型表达为： \[ X = AF + μ \] 其中，X是一个p维随机向量，F是m个因子变量，A是因子载荷矩阵，μ是特殊因子。为了确保模型的有效性，先进行了Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) 检验和Bartlett球形度检验，以评估数据适合进行因子分析的程度。然后，通过正交旋转方法确定主因子，计算每个样本的因子综合得分。 标准化是因子分析的关键步骤，目的是消除不同变量之间量纲和数量级的差异，使得数据在同一尺度上进行比较。实验中，标准化后的部分数据以表格形式呈现，如表1-1所示，其中包含了标准化后的变量X1到Xp、因子变量F以及对应的因子载荷矩阵A。 通过因子分析，可以将复杂的多变量问题简化，提高数据可解释性和分析效率。与主成分分析相比，因子分析更注重变量间的结构关系，而主成分分析更侧重于最大化方差。两者都是降维技术，但在实际应用中可能根据具体问题的特性选择合适的工具。 总结来说，这个实验不仅介绍了因子分析的基本原理和步骤，还展示了如何运用统计软件进行实际操作，以解决实际问题中的数据压缩和理解难题。这对于数据科学专业的学生来说，是一次理论与实践相结合的学习体验，有助于提升他们的数据分析技能。