使用FDM与超松弛迭代法解决工程电磁场问题

"工程电磁场大作业" 这篇大作业聚焦于使用有限差分法(FDM)和高斯迭代法解决工程电磁场中的问题。任务是分析一个具有特定几何形状的无限长金属槽的电场分布。金属槽的侧壁和底面接地，电位为零，而顶盖和另外三面绝缘，维持一定的电位φ=φmsin(πx/a)。学生被要求执行以下操作： 1. 使用超松弛迭代的有限差分法计算槽内任意点的电位和电场强度。 2. 通过等位线描绘金属槽内的电位分布。 3. 在正方形网格系统下，横向至少50格，且迭代误差低于10^-5的情况下，分析超松弛迭代加速因子对收敛性的影响。具体参数为：电位φm=300V，金属槽宽度a=10cm，高度b=7cm。 在解决这个问题时，首先要理解这是一个边值问题，属于静电场的范畴，特别是第一类边值问题，因为四个边界条件已知。利用FDM，将连续场域转化为离散的网格节点集合，然后通过差分原理近似偏导数，形成差分方程组。对于二维拉普拉斯方程，离散后的差分方程表示为∇²φ ≈ 0。 超松弛迭代法是求解这类代数方程组的有效方法，它基于高斯-塞德尔迭代法并引入校正因子以加速收敛。虽然最佳的收敛因子通常与网格形状有关，但在此问题中，由于不考虑正方形场域，最佳值可能不适用。因此，迭代因子可以在[1,2)范围内选取，以确保收敛。 作业的实施步骤包括： 1. 将场域划分为50个横向和35个竖向的网格，形成1750个正方形网格，每个网格边长为0.2cm。 2. 应用FDM和超松弛迭代法在MATLAB中计算所有离散点的电位。 3. 利用电位值计算电场强度。 4. 通过软件绘制电位分布图。 5. 分析不同超松弛因子下的迭代性能，确保满足迭代误差要求。 这个大作业不仅测试了学生对电磁场理论的理解，还考察了他们运用数值方法解决问题的能力，以及使用MATLAB进行数值计算和图形可视化的能力。通过这样的练习，学生可以深入掌握工程电磁场中复杂问题的解决策略。