负整数次幂复解析映射生成分形研究

"负整数次幂复解析映射构造分形" 本文主要探讨了一种使用负整数次幂复解析映射构造分形的新方法。负整数次幂复映射族，即函数 \( f_c(z) = z^{-n} \)，其中 \( n \) 是一个负整数，是复平面上的一种非线性映射。这种映射在非线性动力学和分形几何领域具有重要意义，因为它们能够生成复杂的自相似结构，即分形。 在研究中，作者首先关注了广义M集（Generalized Mandelbrot Set）的1周期参数。M集是一种著名的复分形，由迭代函数系统（IFS）中的复映射产生，特别是通过固定点分析来确定其边界。在负整数次幂的复映射族中，广义M集的1周期参数区域被选为IFS的参数源，这是因为这个区域包含了一类特殊的参数，它们可以导致分形结构的形成。 为了构建IFS，研究者选择正实轴上方与正实轴成 \( \frac{1}{n+\pi} \) 角度内的M集1周期参数区域。IFS是由几个压缩迭代函数组成的集合，这些函数通常具有不同的收缩率和位移。在本研究中，选取2个或更多的参数来构造非线性IFS，这增加了构造分形的多样性和复杂性。 进一步，作者利用完整M集1周期参数区域的对称性，从源参数区域挑选多个参数。这些参数随后被扩展到 \( n+1 \) 个旋转对称参数或 \( 2(n+1) \) 个旋转对称和反射对称参数。这样的扩展使得IFS中的迭代函数具有对称性，从而构造出对称的分形图案。 通过这种方法，研究人员成功地构造出一系列新颖的、结构各异的分形。这些分形不仅展示了负整数次幂复映射的复杂性，还揭示了IFS在生成独特几何结构方面的潜力。实验结果证实了这种方法的有效性，它为分形理论和计算机图形学提供了新的工具和思路。 关键词：分形；迭代函数系统；复映射；M集；负整数次幂；复解析映射；非线性动力系统；计算机图形化