动态规划解数字三角形问题

本文主要讨论了两个与动态规划相关的经典问题：最长单调递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）和数字三角形问题。动态规划是一种解决优化问题的方法，通过构建子问题并利用子问题的解来求解原问题。 ### 最长单调递增子序列 最长单调递增子序列问题是一个典型的动态规划问题。给定一个序列，目标是找到序列中的一个子序列，使得这个子序列是单调递增的，且长度最长。这里提供了求解此问题的算法思路： 1. 定义数组`b[i]`，其中`b[i]`表示以`a[i]`为结尾的最长单调递增子序列的长度。 2. 初始化`b[0]=1`，因为单个元素本身就是递增子序列。 3. 遍历序列，对于每个`i`，寻找所有满足`a[k] ≤ a[i]`的`k`，更新`b[i]`为`max(b[k]) + 1`。这样，`b[i]`将存储以`a[i]`为结尾的最长递增子序列的长度。 4. 序列`a`的最长递增子序列的长度即为`max{b[i]}`。 示例代码展示了如何使用动态规划求解最长单调递增子序列问题，它首先读取序列的长度和元素，然后调用`LISdyna`函数计算并输出结果。 ```cpp int LISdyna(int a[], int n) { // 动态规划求解最长单调递增子序列的实现 // ... return 最长递增子序列长度; } int main() { int n; scanf("%d", &n); int a[100]; for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]); printf("%d\n", LISdyna(a, n)); } ``` ### 数字三角形问题 数字三角形问题要求找到一条从三角形顶部到底部的路径，使得路径上的数字之和最大。这同样是一个动态规划问题，可以使用自底向上的方法解决： 1. 初始化一个二维数组`dp`，`dp[i][j]`表示到达数字三角形第`i`行第`j`列的最大学和路径。 2. 对于每一行`i`，从左到右遍历列`j`，计算`dp[i][j]`的值。`dp[i][j]`的值等于`dp[i-1][j]`和`dp[i-1][j-1]`中较大的那个加上当前数字`triangle[i][j]`。 3. 最终答案将是`dp[n-1][j]`中的最大值，其中`n`是数字三角形的行数。 这个问题的解决方案没有在给定的内容中提供具体代码，但给出了问题描述和示例数字三角形。实际实现时，可以根据描述编写相应的动态规划算法。 总结，动态规划是解决这类优化问题的强大工具，通过分解问题并利用子问题的解来构建原问题的最优解。这两个问题分别展示了动态规划在序列处理和二维结构中的应用。