动态规划解数字三角形问题
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更新于2024-08-19
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本文主要讨论了两个与动态规划相关的经典问题:最长单调递增子序列(Longest Increasing Subsequence, LIS)和数字三角形问题。动态规划是一种解决优化问题的方法,通过构建子问题并利用子问题的解来求解原问题。
### 最长单调递增子序列
最长单调递增子序列问题是一个典型的动态规划问题。给定一个序列,目标是找到序列中的一个子序列,使得这个子序列是单调递增的,且长度最长。这里提供了求解此问题的算法思路:
1. 定义数组`b[i]`,其中`b[i]`表示以`a[i]`为结尾的最长单调递增子序列的长度。
2. 初始化`b[0]=1`,因为单个元素本身就是递增子序列。
3. 遍历序列,对于每个`i`,寻找所有满足`a[k] ≤ a[i]`的`k`,更新`b[i]`为`max(b[k]) + 1`。这样,`b[i]`将存储以`a[i]`为结尾的最长递增子序列的长度。
4. 序列`a`的最长递增子序列的长度即为`max{b[i]}`。
示例代码展示了如何使用动态规划求解最长单调递增子序列问题,它首先读取序列的长度和元素,然后调用`LISdyna`函数计算并输出结果。
```cpp
int LISdyna(int a[], int n) {
// 动态规划求解最长单调递增子序列的实现
// ...
return 最长递增子序列长度;
}
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
int a[100];
for (int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
printf("%d\n", LISdyna(a, n));
}
```
### 数字三角形问题
数字三角形问题要求找到一条从三角形顶部到底部的路径,使得路径上的数字之和最大。这同样是一个动态规划问题,可以使用自底向上的方法解决:
1. 初始化一个二维数组`dp`,`dp[i][j]`表示到达数字三角形第`i`行第`j`列的最大学和路径。
2. 对于每一行`i`,从左到右遍历列`j`,计算`dp[i][j]`的值。`dp[i][j]`的值等于`dp[i-1][j]`和`dp[i-1][j-1]`中较大的那个加上当前数字`triangle[i][j]`。
3. 最终答案将是`dp[n-1][j]`中的最大值,其中`n`是数字三角形的行数。
这个问题的解决方案没有在给定的内容中提供具体代码,但给出了问题描述和示例数字三角形。实际实现时,可以根据描述编写相应的动态规划算法。
总结,动态规划是解决这类优化问题的强大工具,通过分解问题并利用子问题的解来构建原问题的最优解。这两个问题分别展示了动态规划在序列处理和二维结构中的应用。
2021-10-23 上传
2009-10-09 上传
2021-04-20 上传
2023-08-30 上传
2023-05-31 上传
2024-04-27 上传
2023-03-31 上传
2023-05-31 上传
2023-05-28 上传
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