2-块AOR迭代法解最小二乘问题的最优收敛分析

"2-块AOR迭代解最小二乘问题的最优收敛性 (1994年)" 是一篇关于使用二块AOR迭代法解决大型稀疏最小二乘问题的学术论文，由曾文平发表在1994年1月的《华侨大学学报(自然科学版)》上。该论文探讨了这种方法的收敛性，提供了其收敛的充要条件和收敛域，并证明在特定情况下，AOR迭代矩阵的谱半径远小于最优2-块AOR迭代矩阵的谱半径。 在许多实际问题，如大地测量中，经常遇到超定线性方程组Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵（m > n），b是已知向量，且矩阵A的秩为n。最小二乘问题是寻找一个解，使得误差向量的欧几里得范数最小。这种问题等价于解一组对偶方程，即ATAx = ATb。1975年，Chen和Gentheman提出了用3-块SOR迭代法来解决最小二乘问题，而Markham、Neumann和Plemmons后来提议使用2-块SOR方法。他们研究了2-块SOR方法的收敛域，并给出了最佳松弛因子和最小谱半径的表达式。 该论文的主要贡献在于，作者深入分析了2-块AOR迭代法解最小二乘问题的收敛性，不仅给出了对于任意Jacobi阵J2的谱半径ρ(J2)的收敛充要条件，还证明了当参数g接近1时，可以选取合适的ω和θ值，使得AOR迭代的谱半径ρ(Lr, θ)为0，从而表明AOR方法在这种情况下优于最优的2-块SOR方法。 AOR迭代矩阵与Jacobi迭代矩阵的特征值之间有密切关系，这是分析迭代法收敛性的重要工具。通过适当排列，可以将矩阵A和向量b转化为分块形式，这有助于简化问题并进行更深入的分析。论文中未提供具体迭代矩阵的形式和详细计算过程，但可以推断，作者可能通过这种方式建立了AOR迭代法的收敛性理论框架，并给出了数值优化的指导。 论文的关键词包括“最小二乘问题”、“2-块AOR迭代”和“收敛性”，表明研究的核心是围绕这些主题展开的。此外，文章的分类号0241.2可能对应数学中的代数或数值分析领域。 这篇论文为了解决大规模稀疏最小二乘问题提供了一种有效且有理论支持的迭代方法，对于数值线性代数和优化领域的研究具有重要的参考价值。通过深入理解AOR迭代法的收敛特性，可以在实际应用中选择最优参数，提高求解效率。