计算机图形学：自由曲线与NURBS曲面的关键概念

在计算机图形学中，"u和w向切矢"是描述二维或三维几何形状的重要工具。在图形设计特别是计算机辅助几何设计（CAD）中，自由曲线和自由曲面是无法用简单的二次曲面准确表示的复杂形状。这些形状在汽车、航空航天、模具设计等领域中广泛应用。 自由曲线（FreeFormCurves）和自由曲面（FreeFormSurfaces）的特点在于它们由一系列可变形状的小曲线段或曲面片组成，而非固定的数学方程。在设计中，关键概念包括： 1. **特征点（控制顶点）**：这些点决定曲线或曲面的基本形状和位置，但不一定要穿过它们。它们是设计中的控制元素。 2. **型值点**：这些点同时确定形状和位置，并且曲线或曲面确实会通过这些点，对于插值和逼近算法至关重要。 3. **插值与逼近**：插值要求构造一个精确通过所有型值点的函数，而逼近则是找到一个近似曲线或曲面，整体上接近控制顶点，但不必穿过。 4. **光滑与光顺**：光滑意味着至少一阶导数连续，而光顺则更侧重于视觉上的平滑度，虽然没有统一标准，但设计师通常会追求视觉上自然的过渡。 **五种常用的自由曲线表示方法**： - **Hermite曲线**：通过提供起点、终点、速度和加速度信息来定义曲线的形状。 - **Bezier曲线**：基于控制顶点的多段线性插值，形成光滑曲线。 - **B样条曲线**：比Bezier更灵活，支持非均匀的线性插值，适用于复杂的形状。 - **非均匀有理B样条（NURBS）曲线**：利用控制顶点的权重和参数化，提供了更高的精度和灵活性，常用于工业设计中。 自由曲线和曲面的表示通常采用参数方程，这是因为这种形式更加直观且方便操作。参数方程描述了空间中的曲线或曲面，通过参数的变化来控制形状的变化。例如，对于一条空间曲线，其矢量函数可以表示为P(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中t是参数，表示曲线随时间的变化。 理解u和w向切矢以及如何用参数方程描述自由曲线和曲面，是计算机图形学中不可或缺的基础知识，它对于设计和渲染复杂几何模型至关重要。